Математические методы и модели финансового менеджмента

1. Основные методы кредитования предприятий.

Существуют различные способы погашения задолженности. Одним из важнейших элементов плана является определение числа выплат в течение года, т.е. определение числа срочных уплат и их величины. Срочные уплаты рассматриваются как средства, предназначенные для погашения как основного долга, так и текущих процентных платежей. При этом средства, направляемые на погашение основного долга, могут быть равными или изменяющимися по каким-либо законам, а плата за кредит, вычисленная по сложным процентам, будет выплачиваться отдельно. Иногда в течение ряда лет выплачиваются только проценты за кредит, а сам долг погашается в оставшееся время в рассрочку, т.е. несколькими платежами, или разовым платежом.

Погашение кредита может также производиться аннуитетами, т.е. платежами, вносимыми через равные промежутки времени и содержащими как выплату основного долга, так и процентный платеж за пользование кредитом.

Величина срочных уплат зависит от величины кредита, его срока, наличия и продолжительности льготного периода, размера процентной ставки и т.п.

Погашение долга равными срочными уплатами

Погашение долга равными срочными уплатами в конце каждого расчетного периода. Каждая срочная уплата (Y) является суммой годового расхода по погашению основного долга R и процентного платежа по займу I :

Y = R + I

Остаток основного долга и суммы процентных платежей уменьшаются от периода к периоду, годовой расход погашенного основного долга растет, а срочные уплаты являются аннуитетами ренты постнумерандо. Величина кредита (D) равна сумме всех дисконтированных аннуитетов, т.е. является величиной всех срочных уплат.

D = __Y1__ + __Y2__ + __Y3__ + + __Yn__

(1 + i) (1 + i)² (1 + i)³ ….. (1 + i)ⁿ где

Y1 = Y 2 = ….= Yn – срочные уплаты; i – ставка процентов по займу.

Отсюда D = Y * (1 + i)ⁿ – 1

(1 + i)ⁿ * i

При погашении займа равными платежами остаток долга с каждой выплатой уменьшается, следовательно, уменьшаются и процентные выплаты. В результате возрастает от периода к периоду размер платежей, идущих на погашение основного долга. Между двумя последовательными выплатами основного долга существует взаимосвязь. Каждая выплата, произведенная в счет погашения основного долга, отличается от предыдущего на величину

(1 + i), т.е. R _k+1 = R _k * (1 +i). Так R₂ = R ₁ * (1 + i); R₃ = R₁ * (1 + i)² …..R_k = R₁ * (1+i)^k-1

Величина займа D равна сумме выплат Ri:

D = R₁ + R₁ * (1 + i) + R₁ * (1 + i)² + …+R₁ * (1 + i) ^n-1

R1 = D * ___i______

(1 + i)ⁿ -1

____i____

(1 + i)ⁿ - 1 - ставка погашения.

Погашение займа равными выплатами основного долга

Размеры платежей по основному долгу будут равны:

D/n = R1= R2 =….= Rk = Rn

Остаток основного долга в начале каждого расчетного периода (Dk) определится как:

Dk = D – R * (k – 1), где

D – сумма всего долга; к – номер расчетного периода.

Величина срочной уплаты в каждом расчетном периоде равна:

Yk = Dk * i + R

Величина процентного платежа для к-го расчетного периода определяется по формуле:

Ik = Dk * i = (D – R * (k - 1)) * i

Погашение займа переменными выплатами основного долга

Погашение основного долга производится платежами, возрастающими или убывающими в арифметической прогрессии с разностью d. Выплаты основного долга составят:

1-й год – R1;

2-й год – R1 + d;

3-й год – R1 + 2 * d.

……………………..

Предпоследний год – R1 + (n – 2) * d

Последний год – R1 + (n – 1) * d

Следовательно, величина выплаты основного долга в периоде к равна:

Rk = R1 + (n – k) * d

Величина основного долга равна сумме всех выплат, т.е. сумме членов возрастающей арифметической прогрессии:

D = (R1 + R1 + (n – 1) * d) * n = n * (2 * R1 + (n – 1) * d)

2 2

Отсюда формула для вычисления величины R1 для возрастающей прогрессии:

R1 = D – (n – 1) * d

n 2

Формула для вычисления величины R1 для убывающей прогрессии:

R1 = D + (n – 1) * d

n 2

Выплаты изменяются в геометрической прогрессии

Погашение основного долга должно производиться платежами, каждый из которых больше или меньше предыдущего в q раз. Эти платежи будут являться членами возрастающей или убывающей геометрической прогрессии. Члены этой прогрессии будут иметь вид:

R1 – первый член;

R2 = R1 * q – второй член;

R3 = R1 * q² - третий член;

…………………………………………..

R_n-1 = R1 * q ^n-2 – предпоследний член;

R_n = R1 * q ^n-1 – последний член.

Величина основного долга является суммой этих членов и определяется по формуле геометрической прогрессии, где R1 – первый член прогрессии и одновременно первый платеж основного долга, а q – знаменатель прогрессии.

Тогда основной долг D равен:

D = R1 * q_n-1_

q – 1

где q>1

Или:

D = R1 * (1-qⁿ)

1-q

где q < 1

Отсюда R1:

R1 = D * (q-1)

qⁿ-1

где q > 1

R1 = D * (1-q)

(1-qⁿ) где q < 1

Конверсия займов

Изменение условий погашения кредитов называется конверсией займа. При достижении соглашения о конверсии могут изменяться срок погашения займа, процентная ставка, порядок годовых выплат и т.п.

При любом методе конверсии первоначально определяются сумма выплаченного основного долга, и величина непогашенной его части.

Вариант, когда изменяются срок погашения займа и процентная ставка, а срочные уплаты как по старым, так и по новым условиям производятся равными платежами; проценты начисляются 1 раз в конце каждого расчетного периода. Параметры займов:

n – первоначальный срок погашения займов до конверсии;

n1 – срок, на который продлен период погашения в результате конверсии;

k – число оплаченных расчетных периодов до конверсии;

i - процентная ставка до конверсии;

i1 – процентная ставка после конверсии;

Y – величина срочной уплаты до конверсии;

Y1 – величина срочной уплаты после конверсии;

D – величина основного долга;

D _n-k – остаток долга на момент конверсии.

Для составления плана погашения конверсионного займа определяют:

• величину срочной уплаты по старым условиям:

Y = D * i * (1+i)ⁿ

(1+i)ⁿ – 1

• остаток долга на момент конверсии:

D _n-k = Y * (1+i)^n-k -1

(1+i)^n-k * i

• величину срочной уплаты по новым условиям:

Y1 = D _n-k * i ₁*(1+i ₁) ^n-k+n1

(1+i)^n-k+n1 – 1