Понятие математической логики
Математическая логика изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем, которые лежат в основе работы любого компьютера. Суждения в математической логике называют высказываниями или логическими выражениями. Подобно тому, как для описания действий над переменными был разработан раздел математики алгебра, так и для обработки логических выражений в математической логике была создана алгебра высказываний, или алгебра логики.
Алгебра логики - это раздел математической логики, значениявсех элементов (функций и аргументов) которой определены в двухэлементном множестве: 0 и 1. Алгебра логики оперирует с логическими высказываниями.
Высказывание - это любое предложение, в отношении которого имеет смысл утверждение о его истинности или ложности. При этом считается, что высказывание удовлетворяет закону исключенного третьего, т.е. каждое высказывание или истинно, или ложно и не может быть одновременно и истинным, и ложным.
В алгебре логики все высказывания обозначают буквами а, b, с и т.д., и в дальнейшем над ними можно производить любые действия, предусмотренные данной алгеброй.
Основные законы:
1. Закон идемпотентности:
а+а=а;
а*а=а
2. Закон коммутативности
a+b=b+a
a*b=b*a
3. Закон ассоциативности
a+(b+c)=(a+b)+c
4. Закон дистрибутивности
a*(b+c)=ab+ac
a+b*c=(a+c)*(a+c)
5. Закон двойного обращения
6. Закон де Моргана
7. Закон для констант
Вопрос №22.
Особенности операций и функций в алгебре логики.
Логическая операция – способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний. Правила выполнения операций в алгебре логики определяются рядом аксиом, теорем и следствий. Основные операции алгебры высказываний:
-
Отрицание (инверсия). Применяется к одному высказыванию и меняет его на противоположное. Отрицание логического высказывания А обозначается как
.
|
А |
|
|
0 |
1 |
|
1 |
0 |
Отрицая верное высказывание, мы говорим ложь; отрицая неверное высказывание, мы говорим истину.
-
Логическое умножение (конъюнкция) – ставит в соотетствие двум простым высказываниям составное, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказываний истинны.
A
B
AÙB
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
-
Логическое сложение (дизъюнкция). Ставит в соответствие двум простым высказываниям составное, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.
|
A |
B |
AÚB |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
Логическая функция – это функция, в которой переменные принимают только два значения: логическая единица или логический ноль. Любая логическая функция может быть задана с помощью таблицы истинности, в левой части которой записывается набор аргументов, а в правой части – соответствующие значения логической функции. При построении таблицы истинности необходимо учитывать порядок выполнения логических операций. Операции в логическом выражении выполняются слева направо с учетом скобок в следующем порядке:
1. инверсия;
2. конъюнкция;
3. дизъюнкция;
4. импликация и эквивалентность.
Вопрос №23.