11 Клас

11.1. Відповідь. .Оскільки , то . Тому потрібно розв’язати таке рівняння: .

11.2. Відповідь. , де . Скористаємося формулою . Тоді матимемо: .

Тут ми скористалися відомою нерівністю для двох додатних взаємно обернених чисел: , при .

Рівність досягається тоді і тільки тоді, коли , тобто коли , де .

11.3. Відповідь. Рівняння немає розв’язків.

Припустимо, що такі числа і існують, тоді , де . Оскільки , то ділиться на . Але це неможливо, бо для будь-якого натурального число не ділиться на . Дійсно, якщо , де – натуральне, то – не ділиться на . Якщо , де – натуральне, то – не ділиться на . Якщо , де – натуральне, то – не ділиться на . Якщо , де – натуральне, то – не ділиться на . Якщо , де – натуральне, то – не ділиться на .

11.4. а) З’єднаємо точку з вершинами правильного трикутника . Застосуємо до трикутників , і теорему Піфагора:

.

Аналогічно, застосуємо до трикутників , і теорему Піфагора:

.

Звідси й випливає справедливість рівності:

.

б) Оскільки виконується рівність , то

,

,

.

Оскільки трикутник – правильний, то після скорочення останньої рівності на сторону цього трикутника, одержимо:

,

що і треба було довести.

11.5. Відповідь. Ні, не може.

Н ехай – задана піраміда (див. малюнок).

Припустимо, що вершини прямих кутів бічних граней піраміди є чотирма різними точками. Не порушуючи загальності можна вважати, що . Тоді , , і (гіпотенуза більша за катет). Звідси слідує, що – протиріччя. Отже, хоча б одна із вершин основи піраміди є вершиною прямого кута для двох бічних граней. Нехай, наприклад, це буде вершина . Тоді ребро буде перпендикулярне двом прямим і , які перетинаються. А це означатиме, що ребро – перпендикулярне до основи , тобто – висота піраміди.

Завдання іі етапу Всеукраїнської олімпіади з математики 2010р.

11клас

(Кожне із завдань оцінюється 6 балами)

1. Довести тотожність , де .

2. Довести, що при додатних х та у виконується нерівність:

3. Потужність цеху складає 100 виробів А або 300 виробів В за добу. Відділ технічного контролю може перевірити не більше 150 виробів. Виріб А коштує вдвічі дорожче виробу В. Скільки виробів обох типів має випускати цех за добу, щоб загальна вартість продукції була максимальною?

4. Знайти всі функції , що задовольняють рівняння .

Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює a, а бічне ребро дорівнює b. У перерізі цієї піраміди деякою площиною, паралельною бічному ребру і мимобіжній з ним стороні основи, утворився квадрат. Знайдіть його сторону. Завдання ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з математики 2010р.

10клас

(Кожне із завдань оцінюється 6 балами)

5. Довести тотожність , де .

6. Довести, що при додатних х та у виконується нерівність:

7. Потужність цеху складає 100 виробів А або 300 виробів В за добу. Відділ технічного контролю може перевірити не більше 150 виробів. Виріб А коштує вдвічі дорожче виробу В. Скільки виробів обох типів має випускати цех за добу, щоб загальна вартість продукції була максимальною?

8. Знайти всі функції , що задовольняють рівняння .

9. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює a, а бічне ребро дорівнює b. У перерізі цієї піраміди деякою площиною, паралельною бічному ребру і мимобіжній з ним стороні основи, утворився квадрат. Знайдіть його сторону.