1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение с разделенными переменными

Общий вид:

Его общий интеграл:

Уравнение с разделяющимися переменными

Его общий вид: или .

Разделяя переменные: , получаем дифференциальное уравнение с разделенными переменными.

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка

Это уравнение вида: если функция удовлетворяет условию , k=const

Уравнение первого порядка называется однородным, если можно представить как функцию только одного отношения переменных , т.е. уравнения вида .

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой у=ux (или x=uy), где u=u(x) ( u=u(y) )- новая функция.

Пример 1.

Найти общий интеграл данного уравнения:

Решение:

Это однородное уравнение, т.к.

Далее вводим новую функцию , полагая при этом и после подстановки данное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными или

Разделим переменные: и, интегрируя, найдем или . Исключая вспомогательную функцию , окончательно получим

Линейные уравнения первого порядка

Это уравнения вида: , где и - известные функции от х.

Посредством замены функции произведением двух вспомогательных функций линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными относительно каждой из вспомогательных функций.

Пример 2

Решить уравнение

Решение:

Убедившись, что данное уравнение линейное, полагаем тогда и данное уравнение преобразуется к виду:

Так как одну из вспомогательных функций или можно взять произвольно, то выберем в качестве какой – либо частный интеграл уравнения (1)

Тогда для отыскания получим уравнение: (2)

Решая первое уравнение, найдем . Разделяя переменные и интегрируя, найдем его простейший, отличный от нуля частный интеграл:

Подставляя v во второе уравнение и решая его, найдем как общий интеграл этого уравнения:

Зная и , находим искомую функцию .

Уравнение Бернулли

Его общий вид: . Данное уравнение отличается от линейного тем, что в правую часть входит множителем некоторая степень функции . Решается оно так же, как и линейное. Посредством подстановки сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными.

1.2 Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Общий вид такого уравнения:

где p и q -действительные числа. Корни его характеристического уравнения могут быть:

1. действительными и различными:

2. действительными и равными:

3. комплексными:

Им соответствуют следующие общие решения уравнения:

1. ;

2. ;

3. .

Пример 3.

Найти частное решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее начальным условиям:

Решение:

а) Характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня , поэтому общее решение этого дифференциального уравнения записывается в виде , где произвольные постоянные.

Отсюда

Основываясь на начальных условиях, получаем

Решая систему уравнений получаем =1; =0.

Частное решение данного уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, приобретает вид

б) Характеристическое уравнение имеет два равных корня поэтому общее решение соответствующего дифференциального уравнения будет иметь вид Дифференцируя, получим .

Учитывая начальные условия, получаем систему для определения Откуда , поэтому частное решение имеет вид:

в) Характеристическое уравнение не имеет действительных корней. Его корни:

Поэтому общее решение данного уравнения имеет вид:

Дифференцируя, получим:

Подставляя в выражения для начальные условия, получим систему уравнений:

решая которую, найдем .

Тогда частное решение данного уравнения будет иметь вид:

Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Общий вид такого уравнения: (*)

В правой части: многочлен степени .

Общее решение уравнения (*)может быть представлено в виде

где - общее решение соответствующего линейного однородного уравнения,

- какое- либо частное решение неоднородного уравнения (*).

Для отыскания пользуются следующим правилом:

1. если число не является корнем характеристического уравнения, то где - многочлен степени с неопределенными коэффициентами;

2. если число совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то

;

3. если число совпадает с обоими корнями характеристического уравнения , то

.

Пример 4

Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

Решение:

Будем искать общее решение в виде

Y – общее решение уравнения характеристическое уравнение которого а его корни и решение Y имеет вид:

Частное решение будем искать в виде

или

Подставим и в исходное уравнение, получим:

или

Составим систему для нахождения А и В.

Тогда частное решение имеет вид: .

Общее решение данного уравнения будет:

.

2. Ряды

Числовым рядом называется выражение

(1)

Ряд называется сходящимся, если сумма n первых его членов имеет предел при . Иначе ряд называется расходящимся. Ряд может сходиться лишь при условии, когда общий член ряда стремится к нулю при : (Это необходимый, но не достаточный признак сходимости для всякого ряда).

Если же , то ряд расходится. (Это достаточный признак расходимости всякого ряда).

Пример 5. Дан ряд . Проверить выполнение необходимого признака.

Необходимый признак не выполняется. Следовательно, ряд расходится.

Пример 6.

Дан гармонический ряд . Найдем для него .

Для него необходимый признак выполняется, вследствие чего он может быть или сходящимся или расходящимся, что можно установить дополнительным исследованием. (Смотри ниже).