I. Теоретические сведения.
Отыскание квадратичных вычетов методом перебора.
Все
квадратичные вычеты по модулю
могут найдены возведением в квадрат
наименьших положительных вычетов
или наименьших по модулю ненулевых
вычетов:
— при
,
либо
— при
.
Значения этих квадратов дадут представителей всех классов квадратичных вычетов по модулю .
Вычисление символа Лежандра.
Напомним, что если
― простое число, и
не делится на
,
то символ
Лежандра
(«символ
по отношению к
»)
определяется условиями:
,
если
― квадратичный вычет;
,
если
― квадратичный невычет.
При этом называется числителем символа, а ― знаменателем символа.
Символ Лежандра может быть вычислен на основании критерия Эйлера:
(7)
с использованием свойств:
1)
;
2)
.
3)
;
4)
;
(8)
5)
.
(9)
Вычисление проводится по следующему алгоритму:
1.
Разложение
на простые множители:
.
2. Использование мультипликативности символа Лежандра:
.
3. Замена множителей в чётной степени на .
4. Вычисление оставшихся множителей с использованием формулы (7), (8), (9).
Вычисление символа Якоби.
Напомним, что при
нечётном
составном
,
имеющем разложение на простые множители
(среди которых могут быть и равные)
символ Якоби
задаётся равенством с участием символов
Лежандра:
.
II. Примеры.
Отыскание квадратичных вычетов методом перебора.
Найдём квадратичные
вычеты по модулю 5. Это означает решение
сравнения второй степени
.
Поочерёдно подставляем абсолютно
наименьшие положительные ненулевые
вычеты:
.
Квадратичными вычетами являются классы
.
Найдём значение
символа Лежандра
.
Наименьший положительный вычет
,
поскольку
.
Значит,
.
Итак,
является квадратичным невычетом по
модулю
.
III. Задания.
№ вар. |
Найти значение символа Лежандра : 1) перебором классов вычетов; 2) по формулам (7)-(9).
|
Найти значение символа Якоби
|
1 |
a=2772; p=7 |
a=7; P=165 |
2 |
a=1800; p=7 |
a=7; P=195 |
3 |
a=2450; p=7 |
a=13; P=105 |
4 |
a=3234; p=7 |
a=11; P=105 |
5 |
a=9240; p=7 |
a=13; P=525 |
6 |
a=3840; p=7 |
a=13; P=315 |
7 |
a=7800; p=7 |
a=11; P=441 |
8 |
a=6500; p=7 |
a=11; P=225 |
9 |
a=9450; p=7 |
a=5; P=273 |
10 |
a=1050; p=7 |
a=5; P=363 |
11 |
a=2450; p=11 |
a=7; P=315 |
12 |
a=9240; p=11 |
a=11; P=385 |
13 |
a=2772; p=11 |
a=5; P=153 |
14 |
a=6500; p=11 |
a=3; P=245 |
15 |
a=2772; p=11 |
a=7; P=245 |
16 |
a=3840; p=11 |
a=3; P=385 |
17 |
a=7800; p=11 |
a=7; P=115 |
18 |
a=1050; p=11 |
a=5; P=297 |
19 |
a=1800; p=11 |
a=5; P=363 |
20 |
a=3234; p=11 |
a=7; P=363 |
21 |
a=1980; p=13 |
a=3; P=143 |
22 |
a=3675; p=13 |
a=5; P=143 |
23 |
a=3300; p=13 |
a=7; P=297 |
24 |
a=2730; p=13 |
a=11; P=105 |
25 |
a=2002; p=13 |
a=5; P=119 |
26 |
a=2310; p=13 |
a=3; P=119 |
27 |
a=4536; p=13 |
a=5; P=343 |
28 |
a=2835; p=13 |
a=3; P=343 |
29 |
a=4725; p=13 |
a=7; P=169 |
30 |
a=2700; p=13 |
a=13; P=125 |
31 |
a=2002; p=11 |
a=2; P=125 |
32 |
a=5670; p=11 |
a=5; P=169 |
33 |
a=4004; p=11 |
a=2; P=343 |
34 |
a=9900; p=11 |
a=2; P=243 |
35 |
a=8316; p=11 |
a=7; P=625 |
36 |
a=8190; p=11 |
a=19; P=289 |
37 |
a=6006; p=11 |
a=3; P=625 |
38 |
a=3960; p=11 |
a=101; P=169 |
39 |
a=5400; p=11 |
a=11; P=143 |
40 |
a=7200; p=11 |
a=13; P=385 |
41 |
a=252; p=19 |
a=11; P=625 |
42 |
a=1260; p=19 |
a=7; P=143 |
43 |
a=567; p=19 |
a=3; P=163 |
44 |
a=325; p=19 |
a=17; P=121 |
45 |
a=594; p=19 |
a=5; P=729 |
46 |
a=505; p=19 |
a=3; P=275 |
47 |
a=504; p=19 |
a=2; P=275 |
48 |
a=630; p=19 |
a=2; P=143 |
49 |
a=832; p=19 |
a=5; P=143 |
50 |
a=1225; p=19 |
a=13; P=693 |
51 |
a=2700; p=7 |
a=2; P=165 |
52 |
a=2500; p=5 |
a=7; P=143 |
53 |
a=1512; p=5 |
a=5; P=693 |
54 |
a=1664; p=7 |
a=5; P=107 |
55 |
a=2835; p=17 |
a=3; P=217 |
56 |
a=5544; p=17 |
a=5; P=273 |
57 |
a=1024; p=13 |
a=7; P=325 |
58 |
a=4356; p=7 |
a=2; P=273 |
59 |
a=2048; p=17 |
a=5; P=217 |
60 |
a=8712; p=5 |
a=2; P=117 |
ЛИТЕРАТУРА
1. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. ― М.: Наука, 1985. ― 504 с.
2. Бухштаб А.А. Теория чисел. ― М.: Просвещение, 1966. ― 384 с.
4. Виноградов И.М. Основы теории чисел. ― Москва-Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003. ― 176 с.
5. Коутинхо С. Введение в теорию чисел и алгоритм RSA. ― М.: Постмаркет, 2001. ― 328 с.
6. Кочева А.А. Задачник-практикум по алгебре и теории чисел. Ч. III. М.: Просвещение, 1984. ― 41 с.
7. Нестеренко Ю.В. Теория чисел. ― М.: Академия, 2008. ― 272 с.
8. Оре О. Приглашение в теорию чисел. ― М.: Едиториал УРСС, 2003. ― 128 с.
9. Просветов Г.И. Теория чисел: задачи и решения. М.: Альфа-Пресс, 2010. ― 72 с.
10. Черёмушкин А.В. Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии. М.: МЦМНО, 2002. — 104 с.
11. Ястребов М.Ю., Нырков А.П. Основы теории чисел. СПб.: ГУМРФ имени адмирала С.О.Макарова, 2013. — 75 с.
СОДЕРЖАНИЕ
Лабораторная работа № 1. Деление с остатком. Алгоритм Евклида для отыскания наибольшего общего делителя……………...................................................................................... |
3 |
Лабораторная работа № 2. Представление рациональных чисел непрерывными дробями…………………………………………… |
9 |
Лабораторная работа № 3. Факторизация натуральных чисел методом пробных делений и методом Ферма…………………..... |
17 |
Лабораторная работа № 4. Применение теоремы Эйлера для вычисления остатка……………………………………………….... |
21 |
Лабораторная работа № 5. Решение сравнений первой степени……………………………………………………………………. |
26 |
Лабораторная работа № 6. Решение систем сравнений…………. |
34 |
Лабораторная работа № 7. Отыскание квадратичных вычетов. Вычисление символа Лежандра и символа Якоби..….................... |
43 |
ЛИТЕРАТУРА………………………………………………............ |
48 |
Михаил Юрьевич Ястребов
Ирина Владимировна Ланева
АЛГОРИТМЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Лабораторный практикум