I. Теоретические сведения.

Рассмотрим сравнение . Из свойств сравнений следует, что все представители класса вычетов по модулю одновременно ему удовлетворяют либо не удовлетворяют. Поэтому под отдельным решением сравнения понимают класс вычетов , какой-либо представитель которого удовлетворяет сравнению (то есть делится на ). Пусть . Тогда:

1. Если не делится на , то сравнение не имеет решений.

2. Если , то сравнение имеет единственное решение.

3. Если , так что , , и при этом : , то сравнение имеет решений ― различных классов вычетов по модулю ; представителями этих классов являются числа

,

где ― наименьшее неотрицательное число, удовлетворяющее сравнению , которое получается из исходного делением и на .

Метод перебора полной системы вычетов.

По модулю имеется классов вычетов:

;

;

;

…

.

Для отыскания классов, удовлетворяющих заданному сравнению, достаточно проверить справедливость сравнения для чисел , взятых по одному из каждого класса, например для наименьших неотрицательных вычетов .

Метод, основанный на теореме Эйлера.

Если , то решением сравнения является класс вычетов , где ― функция Эйлера.

Применение непрерывных дробей.

Единственное решение сравнения в случае взаимной простоты чисел и можно найти методом, использующим разложение рационального числа в конечную непрерывную дробь. Пусть

.

Тогда ― последняя подходящая дробь. Ей предшествует подходящая дробь , причём, по свойству подходящих дробей

.

Умножая обе части последнего сравнения на и учтя, что , получаем . Таким образом, решением сравнения является класс вычетов

.

II. Примеры.

Метод перебора классов вычетов. Решим сравнение . Здесь , так что решением является единственный класс вычетов. Поскольку и , то исходное сравнение можно заменить равносильным:

Подставляем поочерёдно в сравнение в качестве наименьшие неотрицательные вычеты — числа :

не делится на , поэтому класс не является решением;

не делится на , поэтому класс не является решением;

не делится на , поэтому класс не является решением;

не делится на , поэтому класс не является решением;

не делится на , поэтому класс не является решением;

делится на , поэтому класс является решением.

Замечание. Поскольку при взаимно простых и решение единственно, дальнейшую проверку можно прекращать, как только найдено первое , удовлетворяющее сравнению.

Метод, основанный на теореме Эйлера. 1. Решим сравнение . Здесь , так что сравнение имеет единственное решение . Поскольку , и , то .

2. Решим сравнение . Здесь , причем свободный член также делится на . Делим все члены сравнения на : ; теперь . Новое сравнение по вспомогательному модулю имеет единственное решение . Далее, поскольку и , то получаем . Итак, класс вычетов с представителем является единственным решением сравнения .

Теперь представители всех решений исходного сравнения получаются в виде:

.

Применение непрерывных дробей. Решим сравнение . Здесь . Имеем

.

Сравнение имеет единственное решение. Разложим в непрерывную дробь:

.

Предпоследняя подходящая дробь . Таким образом, . В итоге

.