I. Теоретические сведения.

Будем обозначать через остаток от деления на , то есть наименьший неотрицательный вычет по модулю в классе вычетов . Если , и показатель , то

.

Если показатель мал, то можно вычислить напрямую, после чего находится путём деления на с остатком.

Показатель со свойством или , где близко к единице, может быть найден подбором при последовательном вычислении остатков от деления степеней числа на : .

В силу теоремы Эйлера, при в качестве показателя заведомо можно взять значение функции Эйлера . (Напомним, что определяется для натуральных как количество натуральных чисел, меньших и взаимно простых с ним; дополнительно ).

II. Примеры.

1. Найдём , то есть остаток от деления на . Поскольку , то

. Далее, , так что

. Заключительную часть вычислений можно также провести в виде: .

2. Найдём остаток от деления на . Здесь оба основания степени взаимно просты с модулем: . Поэтому в силу теоремы Эйлера .

Далее,

Итак,

.

3. Найдём . Поскольку , то . Далее, . При этом .

Последовательно находим: , , так что

.

Итак, =18.

4. Найдём . Имеем , поэтому

.

III. Задания.

№ вар.	Найти	Найти
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60

Лабораторная работа № 5. Решение сравнений первой степени.