I. Теоретические сведения.
Натуральное число единственным образом раскладывается в произведение степеней простых чисел:
.
(4)
Для разложения
на простые множители (называемого
факторизацией)
не известны быстро работающие при
больших
алгоритмы. На этой трудности основан
метод RSA
шифрования с открытым ключом, когда
всем известно, что большое число
(например, содержащее порядка
десятичных цифр), является произведением
двух простых чисел, но отыскание последних
для последующего взламывания шифра
невозможно за приемлемое время при
существующих вычислительных мощностях.
Метод пробных делений.
Поскольку
содержит лишь конечное число простых
множителей, разложение (30) можно получить,
деля
многократно на последовательные простые
числа, не превосходящие
.
Этот метод крайне
неэффективен, его реализация невозможна
при больших
.
Для его использования нужна таблица
простых чисел, меньших
,
либо процедура проверка простоты числа,
которая также является весьма трудоёмкой.
Если
— наибольшее простое в разложении (30),
то время реализации приближённо
пропорционально
.
Метод Ферма.
Метод Ферма основан
на формуле разности квадратов: если
нечётное
,
то
,
где
.
Если множители
отличны от
и
,
то дальнейшая факторизация сводится к
работе с меньшими числами. При этом
является полным квадратом:
.
Поиск такого
можно начинать с проверки наименьшего
значения, при котором
,
то есть с
.
Если
не является квадратом, то
далее проверяются
.
Если при всех
разность
не является квадратом, то
— простое.
II. Примеры.
Метод пробных
делений.
Факторизация числа
.
Последовательно получаем: 
не делится на 2;
;
не делится на
;
не делится на
;
;
поэтому
.
Метод Ферма.
Факторизация числа
.
Имеем
;
;
— не является
квадратом;
— не является
квадратом;
.
.
Дальнейшая
факторизация осуществляется просто:
,
и
.
В итоге
.
III. Задания.
№ вар. |
Разложить на простые множители методом пробных делений |
Разложить на два множителя методом Ферма
|
1 |
55825 |
103459 |
2 |
12470 |
56977 |
3 |
77280 |
78817 |
4 |
38863 |
20413 |
5 |
19778 |
11009 |
6 |
43645 |
383017 |
7 |
13013 |
40301 |
8 |
24738 |
104807 |
9 |
27764 |
180589 |
10 |
16905 |
204223 |
11 |
63800 |
31313 |
12 |
33124 |
117613 |
13 |
79515 |
368413 |
14 |
13260 |
171371 |
15 |
24273 |
282943 |
16 |
11322 |
78391 |
17 |
16940 |
364807 |
18 |
22620 |
571511 |
19 |
21460 |
370817 |
20 |
45144 |
544619 |
21 |
84150 |
667453 |
22 |
83300 |
896773 |
23 |
33495 |
736139 |
24 |
11020 |
695531 |
25 |
32300 |
82919 |
26 |
36608 |
29177 |
27 |
10556 |
89951 |
28 |
62370 |
72851 |
29 |
7337 |
554989 |
30 |
3059 |
168019 |
31 |
26477 |
29893 |
32 |
12844 |
41567 |
33 |
26741 |
202451 |
34 |
21460 |
172189 |
35 |
64380 |
27161 |
36 |
12876 |
527027 |
37 |
90132 |
559423 |
38 |
22533 |
515443 |
39 |
52577 |
13589 |
40 |
33150 |
405733 |
41 |
30492 |
235189 |
42 |
24679 |
183941 |
43 |
3565 |
28417 |
44 |
14260 |
534217 |
45 |
10695 |
120983 |
46 |
74865 |
86881 |
47 |
24955 |
40301 |
48 |
39215 |
284987 |
49 |
48620 |
88013 |
50 |
34034 |
29987 |
51 |
24024 |
186821 |
52 |
84084 |
72217 |
53 |
93310 |
275369 |
54 |
97240 |
116843 |
55 |
6068 |
580523 |
56 |
24272 |
451463 |
57 |
78884 |
370781 |
58 |
7844 |
202379 |
59 |
61425 |
71189 |
60 |
47775 |
707137 |
Лабораторная работа № 4. Применение теоремы Эйлера и свойств сравнений для вычисления остатка.