I. Теоретические сведения.
Непрерывной дробью (или цепной дробью) называется выражение
,
(2)
где
— целое число,
— натуральные.
Числа
называются элементами непрерывной
дроби.
Если число элементов конечно, то есть непрерывная дробь имеет вид
, (3)
то
― рациональное число, как результат
арифметических операций с рациональными
числами.
Пусть
― рациональное число, причём числа
и
выбраны так, что дробь несократима и
.
Алгоритм Эвклида последовательных
делений с остатком даёт разложение
числа
в конечную непрерывную дробь; при этом
неполные частные оказываются элементами
непрерывной дроби:
;
;
;
.
.
.
;
(здесь ― последний ненулевой остаток, даваемый алгоритмом Эвклида).
Требование несократимости дроби однозначно определяет числа и , а значит, и представление рационального числа непрерывной дробью.
Подходящими дробями
в сопоставлении числу
непрерывной дроби (3) описанным способом
называются числа
.
Подходящие дроби могут быть последовательно
вычислены по рекуррентным формулам:
,
где
;
;
при
.
II. Примеры.
1. Разложим
в непрерывную дробь число
(здесь
).
Последовательные деления с положительным
остатком дают:
.
Таким образом,
,
и
.
Далее,
,
так что
,
и
.
Наконец,
,
так что
и процесс заканчивается при получении
нулевого остатка:
.
Подходящие дроби в данном случае имеют вид:
.
2. Разложим
в непрерывную дробь число
(здесь
).
Последовательные деления с остатком
дают:
;
.
.
.
.
Подходящие дроби:
.
3.
Найдём рациональное число, представленное
непрерывной дробью
.
Здесь
.
Вычисление следует проводить «с конца»,
то есть в порядке, противоположном
процессу записи непрерывной дроби.
Последовательно вычисляем:
;
.
Второй способ опирается на рекуррентные соотношения, связывающие числители и знаменатели подходящих дробей :
с начальными значениями
и :
Далее вычисляем:
.
III. Задания.
1. Представить рациональное число a/b непрерывной дробью, вычислить подходящие дроби.
2.
Найти рациональное число c
по его представлению элементами
непрерывной дроби
№ вар. |
Рациональное число |
Представление
|
№ вар. |
Рациональное число |
Представление
|
1 |
323/18 |
[2; 1,6,8] |
31 |
459/1000 |
[2; 3,1,6] |
2 |
30/37 |
[3; 4,1,5] |
32 |
127/52 |
[1; 3,4,2] |
3 |
-12/5 |
[-2; 1,3,3] |
33 |
18/13 |
[-1; 2,5,3] |
4 |
135/279 |
[-1; 3,2,8] |
34 |
113/98 |
[3; 1,1,4] |
5 |
507/1001 |
[5; 1,3,4] |
35 |
111/31 |
[-4; 4,2,3] |
6 |
711/100 |
[4; 2,6,8] |
36 |
127/15 |
[-5; 1,2,3] |
7 |
30/13 |
[-3; 2,6,5] |
37 |
75/52 |
[-1; 3,4,2] |
8 |
13/30 |
[0; 3,2,7] |
38 |
127/40 |
[7; 3,1,2] |
9 |
907/1000 |
[6; 5,4,2] |
39 |
-83/98 |
[-4; 1,3,6] |
10 |
-251/764 |
[-1; 4,5,2] |
40 |
44/13 |
[2; 3,5,4] |
11 |
75/101 |
[-4; 3,2,5] |
41 |
299/95 |
[3; 2,9,1] |
12 |
24/35 |
[9; 1,1,3] |
42 |
990/577 |
[-5; 3,4,4] |
13 |
875/576 |
[0; 1,6,3] |
43 |
179/52 |
[4 5,1,2] |
14 |
96/67 |
[-2; 3,6,5] |
44 |
-75/31 |
[0; 2,3,4] |
15 |
90/67 |
[4; 3,2,8] |
45 |
-449/824 |
[2; 1,3,5] |
16 |
129/35 |
[-5; 1,5,8] |
46 |
119/18 |
[-2; 1,3,3] |
17 |
-187/63 |
[6; 1,6,4] |
47 |
123/100 |
[1; 3,6,5] |
18 |
71/41 |
[4; 4,4,4] |
48 |
375/824 |
[-3; 3,3,1] |
19 |
-55/117 |
[-6; 5,1,2] |
49 |
-21/13 |
[0; 5,5,5] |
20 |
153/17 |
[3; 1,2,4] |
50 |
539/103 |
[4; 1,3,7] |
21 |
121/63 |
[5; 3,1,4] |
51 |
413/577 |
[-2; 4,1,5] |
22 |
30/41 |
[2; 1,6,8] |
52 |
102/17 |
[2; 1,6,6] |
23 |
-73/30 |
[1; 2,6,8] |
53 |
-181/25 |
[0; 1,1,7] |
24 |
29/67 |
[-1; 3,6,8] |
54 |
333/103 |
[-1; 1,2,9] |
25 |
38/5 |
[-3; 4,6,8] |
55 |
1567/577 |
[-2; 1,3,3] |
26 |
112/41 |
[5; 5,6,8] |
56 |
–251/764 |
[6; 1,5,4] |
27 |
374/25 |
[-5; 6,6,8] |
57 |
-79/103 |
[9; 3,4,7] |
28 |
-250/63 |
[4; 7,6,8] |
58 |
513/764 |
[2; 5,4,2] |
29 |
67/38 |
[3; 8,6,8] |
59 |
173/31 |
[0; 7,3,5] |
30 |
335/67 |
[7; 9,6,8] |
60 |
69/25 |
[1; 1,7,3] |
Лабораторная работа № 3. Факторизация натуральных чисел методом пробных делений и методом Ферма.