2.4. Содержание отчета Отчет по лабораторной работе должен содержать:

–  титульный лист;

–  формулировку цели работы;

–  содержание файла *.cir с заданной импульсной характеристикой;

–  директиву преобразования Фурье;

–  содержание файла *.out в результате выполнения преобразования Фурье;

–  синусоидальные зависимости для первых девяти гармоник ряда Фурье;

–  исходный и аппроксимированный импульсы на одном графике в среде PSPICE;

–  выражение, определяющее импульс, в среде MathCad и его графическое представление;

–  значения для коэффициентов разложения в ряд Фурье (вещественных, мнимых и комплексных), начальных фаз гармоник и формулы, по которым были получены эти значения;

–  подробное описание преобразований, которые необходимо сделать для полного совпадения экспериментальных и теоретических результатов;

–  команды задания зависимостей различных форм;

–  графическое представление зависимостей различных форм;

–  графическое представление спектральных характеристик зависимостей различных форм;

–  выводы о проделанной работе.

2.5. Список контрольных вопросов

1. Аппроксимация сигнала рядом Фурье. Формы представления. Их принципиальные отличия. Вычисление коэффициентов ряда Фурье.

2. Представление комплексного числа на плоскости. Характеристики комплексного числа. Формула Эйлера.

3. Понятие спектра сигнала. Спектры простейших периодических сигналов.

5. Вид временных зависимостей напряжения (тока) при анализе переходных процессов: импульсная, экспoнeнциaльная, cинyсoидaльная, кyсoчнo-линeйная, синусоидальная с частотной модуляцией. Их параметры.

6. Директивы управления заданием в пакете прикладных программ PSPICE.

3. Исследование свойств преобразования фурье

Основной целью лабораторной работы является исследование связи между некоторыми преобразованиями сигнала и соответствующими преобразованиями его спектра.

3.1. Краткие теоретические сведения

Пусть непериодический сигнал задан в виде некоторой функции, отличной от нуля на интервале . Выделим произвольный отрезок времени , тогда заданное колебание можно представить в виде ряда Фурье

, (3.1)

где , а коэффициенты

. (3.2)

После подстановки выражения (3.2) в соотношение (3.1) получим

. (3.3)

Вне отрезка ряд (3.1) определяет функцию , где – целое число, т. е. периодическую функцию, полученную повторением вправо и влево с периодом . Чтобы вне отрезка эта функция равнялась нулю, величина должна быть бесконечно большой. Но чем больше отрезок , выбранный в качестве периода, тем меньше коэффициенты . Устремляя к бесконечности, в пределе получаем бесконечно малые амплитуды гармонических составляющих. Число гармонических составляющих, входящих в ряд Фурье, будет при этом бесконечно большим, так как при основная частота функции . Иными словами, расстояние между спектральными линиями, равное основной частоте , становится бесконечно малым, а спектр – сплошным.

Таким образом, в выражении (3.3) можно заменить на , на частоту , а операцию суммирования – операцией интегрирования. Приходим к двойному интегралу Фурье

, (3.4)

где

(3.5)

– спектральная плотность или спектральная характеристика функции .

В общем случае, когда пределы и не уточнены, спектральная плотность записывается в форме

. (3.6)

После подстановки (3.6) в выражение (3.4) получаем

. (3.7)

Выражения (3.6) и (7) называются соответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье.

Выражение (3.6) отличается от выражения для коэффициента только отсутствием множителя , поэтому спектральная плотность обладает всеми основными свойствами коэффициентов комплексного ряда Фурье. В частности, можно записать:

, (3.8)

где

, . (3.9)

Модуль и аргумент спектральной плотности определяются выражениями

, (3.10)

(3.11)

Первое из этих выражений можно рассматривать как амплитудно-частотную, а второе – как фазочастотную характеристику сплошного спектра непериодического колебания .

Как и в случае ряда Фурье является четной, а – нечетной функцией частоты .

В тригонометрической форме преобразование Фурье записывается как

(3.12)

Отметим, что все промежуточные выкладки удобнее делать в комплексной, а результат для технических приложений представлять в тригонометрической форме.

Рассмотрим, какова связь между некоторыми преобразованиями сигнала и соответствующими преобразованиями спектра.

Сдвиг колебания во времени

Пусть сигнал существует на интервале и имеет спектральную плотность . Задержав сигнал на время , получим новый сигнал на интервале .

Найдем спектральную плотность такого сигнала.

.

Вводя новую переменную , получим

. (3.13)

Из этого соотношения видно, что сдвиг во времени сигнала на величину приводит к изменению фазовой характеристики спектра на величину . И наоборот: если всем составляющим спектра функции дать фазовый сдвиг , линейно связанный с частотой, то сигнал сдвинется во времени на величину . При этом амплитудно-частотная характеристика спектра от положения колебания на оси времени не зависит.

Смещение спектра колебаний

Применим преобразование Фурье к произведению :

(3.14)

Таким образом, происходит расщепление спектра на две части, смещенных соответственно на величины и .

Изменение масштаба времени

Пусть колебание подверглось сжатию во времени. Новое сжатое колебание связано с исходным колебанием соотношением .

Длительность импульса в раз меньше, чем у исходного импульса, и равна . Спектральная плотность сжатого импульса

,

где . Тогда .

Таким образом, при сжатии сигнала в раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр, а модуль спектральной плотности при этом уменьшается в раз. Очевидно, что при растягивании колебаний во времени (т. е. при ) имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.

Сложение сигналов

Так как преобразование Фурье, определяющее спектральную плотность заданной функции времени, является линейным преобразованием, то очевидно, что при сложении сигналов , обладающих спектрами , суммарному колебанию соответствует суммарный спектр

Произведение двух сигналов

Пусть . Найдем спектр такого сигнала:

. (3.15)

Каждую из функций и можно представить в виде интеграла Фурье

, .

Получаем

(3.16)

Итак, спектр произведения двух сигналов и равен свертке их спектров и с коэффициентом .

В частном случае при получаем

,

Заменяя в последнем выражении на , получаем

, (3.17)

где – спектральная функция, комплексно-сопряженная функции .

Аналогично можно показать, что произведению спектров соответствует функция времени , являющейся сверткой сигналов и :

. (3.18)

При анализе прохождения сигнала через линейные цепи имеет смысл входного сигнала, а – импульсной характеристики цепи, тогда – спектральная плотность сигнала, а – спектральная плотность передаточной функции цепи.

Дифференцирование и интегрирование сигналов

Дифференцирование сигнала можно рассматривать как почленное дифференцирование всех гармонических составляющих, входящих в его спектр. Гармоническую составляющую сигнала, т. е. колебание в полосе частот , можно представить в форме

.

Заключенную в квадратные скобки величину можно рассматривать как амплитуду колебания в полосе .

Продифференцировав по времени , получим

,

т. е. спектральная плотность производной равна

, (3.19)

а интеграла

. (3.20)

То есть дифференцирование во временной области равносильно умножению спектра сигнала в частотной области на величину , а интегрирование – деление спектра сигнала на величину .