МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ |
||||
ХЕРСОНСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ |
||||
Кафедра інформацiйних технологій |
||||
|
||||
|
|
|||
|
||||
|
МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ |
|
||
|
та контрольні завдання до виконання лабораторних робіт |
|
||
|
з дисципліни „Комп’ютерна логіка” |
|
||
|
для студентів другого курсу |
|
||
|
для напряму підготовки 6.050102 “Комп’ютерна інженерія” |
|
||
|
за професійним спрямуванням “Комп’ютерні системи та мережі” |
|
||
|
галузі знань 0501 “Інформатика та обчислювальна техніка” |
|
||
|
факультету кібернетики та системної інженерії |
|
||
|
||||
Частина 6 (лабораторна робота 6) |
||||
|
||||
Херсон – 2016 р. |
||||
Методичні рекомендації та контрольні завдання до виконання лабораторних робіт з дисципліни „Комп'ютерна логіка” для студентів другого курсу напряму підготовки 6.050102 “Комп’ютерна інженерія” (за професійним спрямуванням “Комп’ютерні системи та мережі”) галузі знань 0501 “Інформатика та обчислювальна техніка”. Частина 6 (лабораторна робота 6). |
||||
|
||||
Укладач: Веселовська Г.В., доцент кафедри інформаційних технологій ХНТУ, к.т.н., доцент, кількість сторінок 43. |
||||
|
||||
Рецензент: Гучек П.Й., доцент кафедри інформаційних технологій ХНТУ, к.т.н., доцент. |
||||
|
||||
|
Затверджено |
|||
|
на засіданні кафедри інформаційних технологій ХНТУ, |
|||
|
протокол № 1 від 30.08.2016 р. |
|||
|
Завідувач кафедри інформаційних технологій ХНТУ, д.т.н., професор, заслужений діяч науки і техніки України |
|||
|
____________________ В.Є.Ходаков |
|||
|
||||
Відповідальний за випуск В.Є.Ходаков, завідувач кафедри інформаційних технологій ХНТУ, д.т.н., професор, заслужений діяч науки і техніки України. |
||||
Лабораторна робота 6
Тема: Методи мінімізації перемикальних функцiй. Частина 2. Метод Карно-Вейча (графiчний метод мiнiмiзацiї перемикальних функцій); побудова поліному Жегалкина для заданої перемикальної функції за допомогою методу Карно-Вейча; методи мiнiмiзацiї кон`юнктивних нормальних форм перемикальних функцiй; мiнiмiзацiя частково визначених перемикальних функцiй i систем перемикальних функцiй, методи факторизації перемикальних функцій.
Мета роботи: опановування особливостей технологiй мінімізації перемикальних функцій за допомогою методу дiаграм Карно-Вейча, побудови поліному Жегалкина заданої перемикальної функції за допомогою методу карт Карно-Вейча, методiв мiнiмiзацiї кон`юнктивних нормальних форм перемикальних функцій, методiв мiнiмiзацiї частково визначених перемикальних функцiй i систем перемикальних функцій, факторного алгоритму знахождення форми, близької до абсолютно мінімальної.
Базові поняття, що пiдлягають опановуванню:
- особливостi методу дiаграм Карно-Вейча як графiчного методу мiнiмiзацiї перемикальних функцій;
- технологiї роботи з методом дiаграм Карно-Вейча;
- технологія побудови поліному Жегалкина для заданої перемикальної функції за допомогою методу карт Карно-Вейча;
- методи мiнiмiзацiї кон`юнктивних нормальних форм перемикальних функцiй.
- методи мiнiмiзацiї частково визначених перемикальних функцiй;
- методи мiнiмiзацiї систем перемикальних функцiй;
- факторизація перемикальних функцій.
1 Основные теоретические сведения
1.1 Метод диаграмм Карно-Вейча (графический метод минимизации переключательных функций)
Метод диаграмм Карно-Вейча позволяет быстро получать минимальные ДНФ переключательных функций от небольшого числа переменных: в основном, диаграммы Карно-Вейча применяются для функций с числом переменных не более четырех; метод особенно удобен для функций от четырех переменных; указанный метод также можно использовать для функций от трех переменных, но для них обычно используются другие методы.
Метод Карно-Вейча широко используется на практике благодаря простоте и удобству. После небольшой тренировки, формируется навык определения минимальной ДНФ по диаграмме Карно-Вейча с первого взгляда.
Метод Карно-Вейча основан на нахождении блоков единиц на построенной специальном образом карте значений переключательной функции. В основу метода положено задание переключательных функций диаграммами Карно-Вейча следующего вида:
- диаграмма имеет форму таблицы, каждая клетка которой соответствует некоторому набору переменных таблицы истинности переключательной функции, заданному в коде Грея;
- в клетке диаграммы Карно-Вейча проставляется единица, если переключательная функция принимает на соответствующем наборе значение 1;
- нулевые значения переключательной функции в диаграмме Карно-Вейча не проставляются.
Для диаграмм Карно-Вейча характерно следующее:
- каждой клетке диаграммы соответствует свой набор;
- соседние наборы (то есть наборы, отличающиеся только одной компонентой, для которых соответствующие им конституенты склеиваются по указанной переменной) расположены рядом в строке либо в столбце.
Для случая переключательных функций двух, трех и четырех переменных, диаграммы Карно-Вейча имеют обобщенный вид, представленный далее по тексту, в таблицах 1-3. В данных таблицах также представлено соответствие клеток диаграмм Вейча наборам переменных таблиц истинности переключательных функций, сформированных в коде Грея.
Таблица 1 – Общий вид диаграммы Карно-Вейча для переключательной функции двух переменных
Таблица 2 – Общий вид диаграммы Карно-Вейча для переключательной функции трех переменных
Таблица 3 – Общий вид диаграммы Карно-Вейча для переключательной функции четырех переменных
Представленная в таблице 3 диаграмма Карно-Вейча для переключательной функции четырех переменных была получена путем добавления к диаграмме Карно-Вейча для функции трех переменных (таблица 2) еще одной такой же таблицы для функции трех переменных. Аналогично можно получить диаграмму для функции пяти и более переменных.
В качестве примера, рассмотрим переключательную функцию, заданную диаграммой Карно-Вейча в форме таблицы 4.
Таблица 4
Конституенты, соответствующие горизонтально расположенной паре единиц в левой части таблицы 4, склеиваются по переменной x3 и порождают элементарное произведение, состоящее из двух букв: х1х2/х3 v x1x2x3 = x1x2
То же справедливо и для вертикально расположенной пары единиц в правой части таблицы 4, склеивающихся по переменной x2 и порождающих элементарное произведение из двух букв: /х1х2/х3 v /x1/x2/x 3 = /x1/x3
Важной особенностью диаграмм Карно-Вейча является то, что столбцы и строки, расположенные по краям диаграммы, считаются соседними. Для приведенного выше примера, данное утверждение означает, что имеет место склеивание по переменной x1, в результате которого, следуя указанному правилу, получаем элементарное произведение x2/x3.
Полученные выше элементарные произведения легко было определить сразу по диаграмме Карно-Вейча, поскольку они являются произведениями переменных, принимающих одни и те же значения в обеих клетках.
Из рассмотренных ранее методов известно, что возможно дальнейшее склеивание получаемых элементарных произведений.
На диаграммах Карно-Вейча они тоже располагаются рядом.
Общее правило склеивания на диаграммах Карно-Вейча можно сформулировать следующим образом:
- склеиванию подлежат прямоугольные конфигурации, заполненные единицами и содержащие число клеток, являющееся степенью числа 2;
- новое элементарное произведение определяется как произведение переменных, не меняющих своего значения на всех склеиваемых наборах.
Для переключательной функции от n переменных и при количестве склеиваемых наборов М, число m оставшихся в элементарном произведении переменных определяется из формулы m = n - log2M.
Рассмотрим принцип построения карты Карно-Вейча детальнее для наиболее применимого случая переключательной функции четырех переменных.
Как правило, вдоль границ диаграммы Карно-Вейча по вертикали разме-щают переменные x1 и x2, а по горизонтали ˗ переменные x3 и x4. Пары пере-меных выписываются в порядке (00), (01), (11), (10) (с применением кода Грея). Далее в таблицу заносят значения функции для данных значений переменных.
Для функции обобщенного вида f = (f0000 f0001 f0010 f0011 f0100 f0101 f0110 f0111 f1000 f1001 f1010 f1011 f1100 f1101 f1110 f1111), получим следующий промежуточный результат:
-
x3
0
0
1
1
x4
0
1
1
0
x1
x2
0
0
f0000
f0001
f0011
f0010
0
1
f0100
f0101
f0111
f0110
1
1
f1100
f1101
f1111
f1110
1
0
f1000
f1001
f1011
f1010
На полученной карте Карно-Вейча, находим все максимально возможные блоки единиц вида 2k × 2l; где k, l ∈ N, учитывая следующее: карта является закольцованной; блоки могут пересекаться, но не должны включать друг друга.
Для каждого блока, выписываем вектор, в котором размещаем: знак «–», если переменная в пределах блока меняла значение; значение переменной (0 либо 1), если переменная в пределах блока не меняла значения.
Для тех позиций вектора i, в которых стоит знак σ ∈ {0, 1}, в элементарную кон`юнкцию добавляется xiσ.
Дизъюнкция всех полученных элементарных кон`юнкций и является сокращённой ДНФ.
Пдведем итоги рассмотренной информации о методе Карно-Вейча.
Минимизация переключательной функции методом Карно-Вейча заключается в нахождении минимального покрытия всех единиц диаграммы Карно-Вейча блоками из единиц (указанной конфигурации), расположенных в соседних клетках диаграммы.
Считается, что: левый край диаграммы Карно-Bейча примыкает к ее правому краю, а верхний край диаграммы примыкает к ее нижнему краю.
После получения минимального покрытия всех единиц диаграммы Карно-Вейча, минимальная ДНФ булевой функции записывается как дизъюнкция элементарных конъюнкций, соответствующих выделенным блокам единиц в диаграмме.
Рассмотрим пример применения изложенных выше соображений, найдя для функции f = (1010 0110 0111 1101) сокращённую ДНФ.
Для решения задачи, построим следующую карту Карно-Вейча:
На основании карты Карно-Вейча, получим следующие блоки:
(0 0 − 0) = /x1 /x2 /x4; (0 − 1 0) = /x1 x3 /x4; (− 0 1 0) = /x2 x3 /x4;
(− 1 0 1) = x2 /x3 x4; (1 1 0 −) = x1 x2 /x3; (1 0 1 −) = x1 /x2 x3;
(1 − − 1) = x1x4
В результате, получаем сокращённую ДНФ следующего вида:
/x1 /x2 /x4 ∨ /x1 x3 /x4 ∨ /x2 x3 /x4 ∨ x2 /x3 x4 ∨ x1 x2 /x3 ∨ x1 /x2 x3 ∨ x1x4.
Рассмотрим другие примеры применения метода Карно-Вейча.
Пример 1. Необходимо найти с помощью диаграммы Карно-Вейча минимальную ДНФ переключательной функции f, заданной СДНФ вида f =х1х2х3 v х1/х2х3 v /х1/х2/х3 v /х1/х2/х3 vх1х2/х3. Для решения задачи, составим диаграмму Карно-Вейча, соответствующую функции f (таблица 5).
Таблица 5
Минимальное покрытие всех единиц данной диаграммы возможно только блоками по две единицы. Каждому такому блоку соответствует своя конъюнкция. Следовательно, минимальная ДНФ функции f = х1х2 v /х1/х2 v х1х3.
Пример 2. Переключательная функция f1 имеет диаграмму Карно-Вейча, представленную таблицей 6. Тогда минимальная ДНФ функции f1 примет вид f1 = х1х2х3 v /х1х4.
Таблица 6
Пример 3. Переключательная функция f2 имеет диаграмму Вейча, представленную таблицей 7. Тогда минимальная ДНФ функции f2 примет следующий вид: f2=х1х2х4 v х2х3/х4 v х1х3 v /х2х3х4 v х1х2х3x4.
Таблица 7
Пример 4. Пусть переключательная функция f3 имеет диаграмму Вейча, представленную таблицей 8. Тогда минимальная ДНФ функции f3 примет следующий вид: f3=х3/х4 v /х3х4.
Таблица 8
Пример 5.
Пусть переключательная функция f4 имеет диаграмму Вейча, представленную таблицей 9. Тогда минимальная ДНФ функции f4 примет следующий вид: f4=/х3х4 v /х1х4 v х1х3/х4.
Таблица 9
Пример 6. Пусть переключательная функция f5 имеет диаграмму Вейча, представленную таблицей 10. Тогда минимальная ДНФ функции f5 примет следующий вид: f5=х3 v х4.
Таблица 10
Пример 7. Пусть переключательная функция f6 имеет диаграмму Вейча, представленную таблицей 11. Тогда минимальная ДНФ функции f6 примет следующий вид: f6=х3х4 v /х3/х4 v х1х2х3.
Таблица 11
