1.6. Лініарізація нелінійних рівнянь системи автоматичного регулювання

Перший крок в дослідженні нелінійних систем полягає в побудові їх приблизних лінійних моделей, тобто в лініарізації вихідних рівнянь. Підставою для лініарізації є те, що в реальних системах автоматичного регулювання відхилення керуючого діяння та других змінних величин від усталених значень є незначними. Розглянемо динамічну ланку (рис.1.27,а) в якій зв'язок між вхідним і вихідним сигналами визначається функцією f. Нехай статична характеристика динамічної ланки має вигляд, показаний на рис.1.27,б. Лініарізація зводиться до заміни криволінійної характеристики на інтервалі (х₁-х₂), що називається робочим інтервалом, відрізком прямої. Крім робочого інтервалу визначається і положення робочої точки (х_о, у_о) на характеристиці із якої

починається або в яку прагне процес. Робоча точка повинна бути спільною як для вихідної так і для апроксимуючої прямої. При лініарізації відрізок нелінійної характеристики в робочому інтервалі замінюється відрізком дотичної до кривої в робочій точці. Аналітично рівняння лінійного наближення получають розкладом функції f(x) в (окресностях) робочої точки в ряд Тейлора, обмежившись лінійними членами (першими двома)

. (1.34)

Вираз (1.34) можна розбити на два рівняння

. (1.35)

Перше рівняння зв'язує вхідну і вихідну координати системи в робочій точці. Друге рівняння зв'язує відхилення (прирости) вхідної та вихідної координат. Коефіцієнт передачі лініарізованої ланки (системи) тоді визначається як

. (1.36)

В випадку, коли дотичну до статичної характеристики в робочій точці провести неможливо (розрив, злам, невизначеність), лініарізацію відносно вибраного режиму є неможливою.

В результаті лініарізації нелінійна ланка (рис.1.27,а) замінюється лінійною (рис.1.28) із коефіцієнтом передачі, що визначається формулою (1.36). В подальшому, для спрощення запису, позначення приростів вхідного та вихідного сигналів опускаються.

Приклад 1. Необхідно побудувати та лініарізувати статичну характеристику трифазного мостового керованого тиристорного випрямляча (рис.1.29).

Тиристорний випрямляч живиться від мережі змінного струму із лінійною напругою U_м=380 В і має в системі імпульсно - фазового керування (СІФК) лінійний опорний сигнал. Опорний сигнал одержують інтегруванням постійної напруги U_о за половину періоду напруги, що живить тиристорний випрямляч. Для п-го інтервалу роботи тиристорного випрямляча опорний сигнал визначається такою аналітичною залежністю

, (1.37)

де Т_о- стала часу інтегратора;  - змінна кутова координата; _о=2f_о, f_о=50Гц.

Кут відкривання чергового тиристора випрямляча визначається умовою перемикання компаратора в системі керування

. (1.38)

На підставі цієї умови функціональна залежність кута керування тиристорного випрямляча від величини напруги U_у має вигляд

. (1.39)

Середнє значення вихідної напруги тиристорного випрямляча при =0

[ ]:

, (1.40)

де т- пульсність тиристорного випрямляча, яка для схеми на рис.1.29 визначається як т=6.

В керованому режимі середнє значення вихідної напруги для неперервного струму в навантаженні

. (1.41)

Підстановка формули (1.39) в формулу (1.41) дає вираз для статичної характеристики тиристорного випрямляча

. (1.42)

На рис.1.30 приведена статична характеристика тиристорного випрямляча

для випадку коли в системі керування (СІФУ)

. (1.43)

Лініарізуємо одержану статичну характеристику в робочій точці А із координатами U_y= 6 B, U_d=300 B. Згідно з формулою (1.36) коефіцієнт передачі тиристорного випрямляча в робочій точці визначається як:

; (1.44) або як

. (1.45)

В результаті лініарізації статичної характеристики тиристорний випрямляч в (окресностях) робочої точки замінюється лінійною ланкою із коефіціє-

нтом передачі, що дорівнює К_ТВ.