Неперервність функції на множині

Функція називається неперервною на інтервалі (a; b), якщо вона неперервна в кожній точці інтервалу. Функція називається неперервною на відрізку [a; b], якщо вона неперервна на інтервалі (a; b), неперервна справа в точці а і неперервна зліва в точці b.

З

Рисунок 2

азначимо, що для неперервності функції на відрізку [a; b], як видно з означення, не потрібна неперервність функції на кінцях відрізка. У точках а і b (кінцях відрізка [a; b]) потрібна лише одностороння неперервність функції.

Наприклад, функція , де , є функцією, неперервному на цьому відрізку, бо вона неперервна в кожній точці інтервалу (1; 2), неперервна справа в точці х=1 і неперервна зліва в точці х=2.

Точки розриву

Рисунок 3

Якщо функція неперервна в точці х₀, то точка х₀ називається точкою неперервності функції . У противному разі, тобто коли границя функції в точці х₀ не існує або існує, але не дорівнює , функція називається розривною в точці х₀, а точка х₀ – точкою розриву функції . Зокрема, якщо визначена в усіх точках інтервалу (a; b), крім точки х₀Î(a; b), то х₀ – точка розриву функції .

Із зазначеного випливає, що в точці розриву функція може бути визначеною, але не є неперервною в цій точці (див. приклади 1, 2) і невизначеною в такій точці, хоч визначена в деякому “проколеному” околі цієї точки, наприклад, точка х₀=3 в розглянутому вигляді вище прикладі 4. У першому випадку точка розриву належить області визначення функції (приклади 1, 2), у другому випадку не належить їй (приклад 4).

Точка розриву функції називається точкою розриву першого роду, якщо функція в цій точці має скінченні границі справа і зліва. У решті випадків точка розриву називається точкою розриву другого роду.

У розглянутих вище прикладах точки х₀=0 (див. приклади 1, 2) є точкою розриву першого роду, а точка х₀=3 (див приклад 4) – точкою розриву другого роду. Справді, якщо , то f(-0)=-1, f(+0)=1, тобто односторонні границі функції в точці х₀=0 існують і скінченні. За означенням точка х₀ є точкою розриву першого роду цієї функції.

Доведемо, що для функції точка х₀=3 є точкою розриву другого роду. Розглянемо границі зліва і справа цієї функції в точці х₀=3:

,

Таким чином, односторонні границі функції в точці х₀=3 нескінченні, а це, згідно з означенням, означає, що в точці х₀=3 функція має розрив другого роду.

При побудові графіків функцій, які мають точки розриву, потрібно мати на увазі таке: якщо х₀ – точка розриву першого роду функції , то графік функції в точці х₀ робить скінченний стрибок, який дорівнює f(x₀+0)-f(x₀-0) (якщо f(x₀+0)¹f(x₀-0) ); якщо ж х₀ – точка розриву другого роду функції , то принаймні одна із границь справа або зліва в точці х₀ не існує або дорівнює нескінченності. Так, у прикладі 1 графік функції робить у точці х₀=0 стрибок:

f(+0)-f(-0)=1-(-1)=2.

У прикладі 4 границі зліва і справа для функції в точці х₀=3 дорівнюють нескінченності.

Властивості неперервних функцій

Рисунок 4

Теорема 1. Сума скінченного числа функцій, неперервних у точці а, є функція, неперервна в цій точці.

Теорема 2. Добуток скінченного числа функцій, неперервних у точці а, є функція, неперервна в цій точці.

Теорема 3. Відношення двох функцій, неперервних у точці а, є функція, неперервна в цій точці, якщо значення функції у знаменнику відмінне від нуля в точці а.

Теореми 1, 2, 3 випливають із відповідних теорем для границь функцій.

Приклад 1. Функція , де nÎN, неперервна на всій числовій прямій.

Справді, оскільки

то із теореми 2, враховуючи неперервність х, дістанемо, що ця функція неперервна всюди на числовій прямій.

Теорема 4. Многочлен є функція, неперервна на всій числовій прямій.

Теорема 5. Будь-яка дробово-раціональна функція неперервна в кожній точці своєї області визначення.

Наприклад, функція неперервна на всій числовій прямій, крім точки , в якій знаменник дробу обертається в нуль. Функція

неперервна всюди на R, бо знаменник ніде не обертається в нуль. Функції, неперервні на відрізку, мають ряд важливих властивостей.

Теорема 6. Якщо функція f неперервна на відрізку [a; b] і на кінцях його набуває значень різних знаків, то всередині відрізка [a; b] знайдеться хоча б одна точка, в якій ця функція обертається в нуль.

Теорема 7. Якщо функція неперервна на відрізку, то серед значень, які вона набуває на цьому відрізку, існують найменше і найбільше значення. При цьому вона набуває всі значення між найбільшим і найменшим значенням.

Деякі важливі границі

В теорії границь важливе місце займають перераховані нижче границі 1)-4) за допомогою яких обчислюється багато границь від елементарних функцій:

1) ,

2) ,

3) , ,

4) ,

5) Перша чудова границя: .

Доведення.

Рисунок 5

,

,

,

.

Отримали: , , .

. Тоді за лемою про три границі .

6) Друга чудова границя:

Доведення. Покажемо за Гейне, , тоді

.

(як підпослідовність) і

.

Звідси, .