Зміст

• Границя функції. Означення по Гейне і Коші _____________________2

• Границя функції в точці_______________________________________3

• Односторонні границі_________________________________________5

• Неперервність функції на множині______________________________7

• Точки розриву_______________________________________________8

• Властивості неперервних функцій_______________________________9

• Правила границь функції______________________________________11

• Границя функції двох змінних_________________________________12

• Список ілюстрацій___________________________________________15

Границя функції. Означення по Гейне і Коші

Нехай , де X, F – топологічні простори, а і точка – гранична для А.

Означення 1 (топологічне). Точка – границя функції при по множині А, якщо для будь-якого околу V точки в F існує окіл U точки в X такий, що . Позначаємо: .

Приклад.

1) Х=R, A=N, , – отримуємо границю послідовності.

2) .

Нехай Х – метризований простір, тоді означення буде еквівалентне означенню функції по Гейне.

Означення 2. Точка – границя функції при по множині А ( – гранична точка А) якщо для будь-якої послідовності , то в F.

Доведемо еквівалентність означень.

Означення 2 випливає з означення 1 (навіть якщо Х просто топологічна множина). Дійсно, нехай означення 1 виконується. Якщо , то , тобто .

Доведемо, що означення 1 випливає з означення 2. Нехай виконується означення 2. Припустимо, що означення 1 не виконується, тобто . Візьмемо за U пари , тоді (перетин не порожній, так як точка гранична). Одержали суперечність: , яка і доводить твердження.

Розглянемо ситуацію, коли Х і F – метричні простори з метриками і відповідно.

Означення (по Коші) . Точка називається границею при по А, якщо .

Означення по Коші та по Гейне еквівалентні.

Границя функції в точці

Рисунок 1

Нехай функція визначена на деякій множині X і точкаx_n . Візьмемо з X послідовність точок , відмінних від a, яка збігається до цього числа:

x₁, x₂, x₃,….,x_n,….. (1)

Значення функції в точках послідовності (1) утворюють в свою чергу числову послідовність :

f(x₁), f(x₂), f(x₃),…,f(x_n),…. (2)

Означення 1. (за Гейне). Число b називається границею функції (limit of function) f(x) в точці x=a (або при ), якщо для будь-якої збіжної до a послідовності (1) значень аргументу x, відмінних від a, відповідна послідовність (2) значень функції збігається до числа b.

Позначають це так:

f(x) =b (3)

або

f(x) b при x a.

Це означення границі функції за Гейне (мовою послідовностей), його можна записати скорочено так:

, , f(x_n) =b

Приклад 1. Довести, що .

Доведення. За означенням 2: , , lim x_n=1;

Ця границя не залежить від вибору послідовності , яка збігається до числа 1.

Означення 3. (за Коші). Число b називається границею функції f(x) в точці x=a (або при ), якщо для будь-якого як завгодно малого числа існує таке додатне число , що для всіх , які задовольняють нерівність , виконується нерівність

Скорочено це означення можна записати так:

З геометричної точки зору, якщо число b є границею функції в точці , то для всіх значень аргументу , які групуються навколо точки , відповідні значення функції групуються навколо точки .

Зауваження. Можна показати, що означення 2 та 3 є еквівалентними.

Приклад 2. Довести, що .

Доведення. Застосуємо означення 3:

(мал1)

, тобто .

Нехай, наприклад, , тоді відповідне і

Односторонні границі

Означення 4. Число b називається границею функції f(x) справа (right-handed limit) [зліва (left-handed limit)] в точці x=a, якщо для будь-якого як завгодно малого числа існує таке додатне число , що для всіх x, які задовольняють нерівність [ ], виконується нерівність

Скорочено означення границі справа (зліва) в точці , можна записати так:

( )

Позначають границю справа або f(a+0);

границю зліва або f(a-0).

Для існування границі функції f(x) в точці x=a необхідно і достатньо, щоб мала місце рівність

= =b

Побудова графіків найпростіших функцій, наприклад, , або здійснюється за точками. Зокрема складають таблицю значень функції, що відповідають певним значенням аргументу, потім на площині, в якій задана система координат, будують точки, координати яких занесено в таблицю; з’єднавши відмічені точки “суцільною лінією”, дістають графік функцій. Це можна робити не завжди, а лише тоді, коли функція неперервна (тоді графік її є лінія суцільна).

Функція xÎ(a; b) називається перервною в точці x₀Î(a; b), якщо границя функції в точці х₀ існує і дорівнює значенню функції в цій точці:

За цим означенням неперервність функції f в точці х₀ означає здійснимість таких умов:

1) функція f повинна бути визначена в точці х₀;

2) для функції f повинна існувати границя в точці х₀;

3) границя функції f в точці х₀ збігається із значенням функції в цій точці.

Наприклад, функція f(х)=х² визначена на всій числовій прямій і Оскільки f(1)=1, то значення f(х)=х² в точці х=1 збігається з границею при х®1, то, згідно з означенням, функція f (х)=х² неперервна в точці х=1.

Якщо використати означення лівої і правої границь функції, то можна дати означення лівосторонньої і правосторонньої неперервностей функції, тобто функція називається неперервною зліва в точці х₀, якщо ; неперервною справа в точці х₀, якщо

Наприклад, функція , де - дробова частина числа х, неперервна всюди, за винятком цілочислових значень аргументу х, в яких вона неперервна справа.

Покажемо дослідження функції на неперервність на конкретних прикладах.

Приклад 1. Дослідимо на неперервність у точці х₀=0 функцію (читають “сигнум х” або “знак х”):

Згідно з заданням функції

Таким чином, f(-0)¹f(+0), тобто односторонні границі існують, але різні, тому функція не має границі і, тим більше, не буде неперервною в точці х₀=0.

Приклад 2. Нехай

Дослідимо цю функцію на неперервність у точці х₀=0. Оскільки для х¹0, то

Отже, границя цієї функції в точці х₀=0 існує, але вона не дорівнює , бо , і тому функція не буде неперервною в точці х₀=0.

Приклад 3. Нехай дано функцію

Дослідимо цю функцію на неперервність у точці х₀=1.

Оскільки , то

Таким чином, ми встановили, що в точці х₀=1 границя функції існує і дорівнює значенню функції, а це означає, що розглянута функція неперервна в точці х₀=1.

Приклад 4. Нехай , xÎR, x¹3

Ця функція не є неперервною в точці х₀=3, бо вона не визначена при х=3.