VI. Основы теории вероятностей.

Вероятность. Случайные события.

Т.В. изучает закономерности, имеющие место в массовых случайных явлениях.

Опр. Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого. В противном случае они называются совместными.

Пример 1. В ящике имеются стандартные и нестандартные детали. Наудачу берут одну деталь.

Событие А1 – достали стандартную деталь.

Событие А2 – достали нестандартную деталь.

События А1 и А2 несовместные

Пример 2. Брошена игральная кость.

Событие А1 – появилось два очка.

Событие А2 – появилось четное число очков.

События А1 и А2 совместные.

Опр. Пусть событие А связано с опытом. Повторим опыт n раз, при этом событие А появится m раз, тогда m/n называется частотой появления события А.

Опр. вероятностью события А называется число, равное m/n, где m – число событий, благоприятных для А, n – обще число событий, тогда вероятность события А обозначается Р(А)= m/n.

Свойства вероятности Р(А):

1. .

2. Р(u)=1, где u – достоверное событие.

3. Р(v)=0, где v – невозможное событие.

Теорема сложения вероятностей:

Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Теорема произведения вероятностей:

Вероятность произведения двух несовместных событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.

Р(А*В)=Р(А)*Р(В/А)

Опр. Условной вероятностью события В при условии, что событие А произошло называется отношение вероятности произведения А*В к вероятности события А.

Р(В/А)=Р(А*В)/Р(А)

Случайная величина. Ее функция распределения.

Опр. случайная величина – действительная функция, заданная на пространстве элементарных событий данного испытания.

Почти в каждой задаче в результате эксперимента возникает некоторое число. Например, испытание – бросается игральная кость. Число Х – выпавшее число очков.

Опр. Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется дискретной случайной величиной.

Опр. Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка, называется непрерывной случайной величиной.

Пример. Электрическая лампочка испытывается на длительность горения. Х – полное время горения.

Случайная величина обозначается X, Y, Z, а ее возможные значения х1, х2, х3 …

Опр. Законом распределения сл.в. называется правило, устанавливающее связь между возможными значениями сл.в. и их вероятностями.

Закон распределения дискретной сл.в. может быть задан таблицей или с помощью формулы. Если дискретная сл.в. Х принимает конкретное множество значений х1,х2,…хn с вероятностями р1,р2,…, рn, то закон ее распределения может быть задан формулой р1+р2+…рn=1.

Этот закон можно задать таблицей и графически.

Х	х1	х2	х3	…	хn
Р	р1	р2	р3	…	рn

Пример. Дискретная сл.в. задана законом:

Х	0,2	0,4	0,6	0,8	1
Р	0,1	0,2	0,4	р4	0,1

Найти вероятность р4 = Р(Х=0,8). Построить график распределения?

Решение: р1+р2+р3+р4+р5=1 => р4=1-(р1+р2+р3+р5)=1-(0,1+0,2+0,4+0,1)=0,2

Задача. Дискретная сл.в. задана законом:

Х	3	4	5	6	7
Р	Р1	0,15	Р3	0,25	0,35

Найти р1=Р(Х=3) и р3=Р(Х=5), если р3 в 4 раза больше р1?

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.

Числовыми характеристиками сл.в. являются математическое ожидание M(X), дисперсия D(X), среднее квадратичное отклонение .

Опр. Математическим ожиданием дискретной сл.в. Х с законом распределения называется число

Х	х1	х2	х3	…	хn
Р	р1	р2	р3	…	рn

M(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn

Пример. Найти М(Х) числа очков, выпадающих при бросании игральной кости.

Решение. Закон распределения имеет вид

Х	1	2	3	4	5	6
Р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Тогда М(Х)= 1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6=3,5

Свойства М(Х):

1. М(СХ)=С*М(Х).

2. М(Х+У)=М(Х)+М(У)

3. М(Х*У)=М(Х)*М(У)

Опр. Пусть Х – дискретная сл.в., возможные значения которой х1,х2,…,хn,

М(Х) – математическое ожидание, тогда сл.в. Х-М(Х) называется отклонением величины Х от ее математического ожидания, т.е. отклонение это сл.в., которая принимает значения: х1-М(Х), х2-М(Х),…, хn-М(Х).

Опр. Дисперсией сл.в. называется математическое ожидание квадрата

отклонения сл.в. от ее математического ожидания.

Дисперсия обозначается

Опр.. Средним квадратичным отклонением сл.в. Х называется корень

квадратный из дисперсии. .

На практике часто используют формулу .

Пример. Дискретная сл.в. имеет закон распределения

Х	0	1	2
Р	0,3	0,5	0,2

Найти D(X)? ?

Решение: М(Х)= 0*0,3+1*0,5+2*0,2=0,9

Запишем закон распределения отклонения этой величины, т.е. величины

	(0-0,9)	(1-0,9)	(2-0,9)
Р	0,3	0,5	0,2

D(X)=(0-0,9) *0,3+(1-0,9) *0,5+(2-0,9) *0,2=0,81*0,3+0,01*0,5+1,21*0,2=0,49.

Контрольная работа по «Математике»

ВАРИАНТ 1

1. Упростить алгебраическое выражение

2. Вычислить предел последовательности

3. Вычислить предел последовательности

4. Вычислить предел функции

5. Найти производную функции

6. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции

f(х)= х - 7.5 х +18х

7.Найти неопределенный интеграл

dx

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

у= х +х и у=х+1

9. Найти частное решение дифференциального уравнения

(х+1) dу + (y-2) dx=0 при х =1; y =4

10. Исследовать на сходимость ряд, составленный из членов

геометрической прогрессии

1+q+q +…+ q +… , <1

ВАРИАНТ 2

1. Упростить алгебраическое выражение

а *

2. Вычислить предел последовательности

3. Вычислить предел последовательности

4.Вычислить предел функции

5. Найти производную функции

у = 4е

5. Найти экстремумы функции

f(х)= (х – 2)

5. Найти неопределенный интеграл

dx

8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

у= -2х +3х+6 и у=х+2

9. Найти частное решение дифференциального уравнения

dx при х =2; y =5

10. Исследовать на сходимость ряд

1+1+1+…+ 1+…

ВАРИАНТ 3

1. Упростить алгебраическое выражение

2. Вычислить предел последовательности

3. Вычислить предел последовательности

4. Вычислить предел функции

5. Найти производную функции

у = х *sin х+

6. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

f(х)= х - 2х +х-2 на отрезке [0,5; 2]

7. Найти неопределенный интеграл

sin х dx

8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

у = х ; у = ; у = 0 ; х = 2

9. Найти частное решение дифференциального уравнения

ху -у=0 при х = -4; y = 2

10. Исследовать ряд на сходимость

ВАРИАНТ 4

1. Упростить алгебраическое выражение

:

2. Вычислить предел последовательности

3. Вычислить предел последовательности

4. Вычислить предел функции

5. Найти производную функции

у = sin 2х

6. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции

f(х)= х - 6х +х

7.Найти неопределенный интеграл

(х+1) dx

8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

у = х и у = 4х

9. Найти частное решение дифференциального уравнения

у = х при х = 0; y = 1

10. Исследовать на сходимость ряд

1+ + +…+ +…

ВАРИАНТ 5

1. Упростить алгебраическое выражение

2. Вычислить предел последовательности

3. Вычислить предел последовательности

4. Вычислить предел функции

5. Найти производную функции

у = l n соs 3х

6. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

у= на отрезке [3; 4]

7. Найти неопределенный интеграл

l n х dx

8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

у = 2х - х и у = 0

9. Найти частное решение дифференциального уравнения

у = - при х = 3; y = 4

10. Исследовать на сходимость ряд

ВАРИАНТ 6

1. Упростить алгебраическое выражение

2. Вычислить предел последовательности

3. Вычислить предел последовательности

4. Вычислить предел функции

5. Найти производную функции

у = х tqx

6. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

у = 1+4 sin x – 2x на отрезке [0;П]

7. Найти неопределенный интеграл

х соs х dx

8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции

у = соs х на отрезке

9. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

уу + х = 0

10. Исследовать на сходимость ряд

1+ + +…+ +…

ВАРИАНТ 7

1. Упростить алгебраическое выражение

2. Вычислить предел последовательности

3. Вычислить предел последовательности

4. Вычислить предел функции

5. Найти производную функции

у = х (1- l n х)

6. Найти интервалы возрастания и убывания и точки экстремума функции

у = x – 7,5х +18х

7. Найти неопределенный интеграл

dx

8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

у = х , х=1; у=0

9. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

ху - у =0

10. Исследовать на сходимость ряд

ВАРИАНТ 8

1. Упростить алгебраическое выражение

а *

2. Вычислить предел последовательности

3. Вычислить предел последовательности

4. Вычислить предел функции

(1+4х)

5. Найти производную функции

у = х 3

6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

у = -3+4 sin x + 2x на [П; 2П]

7. Найти неопределенный интеграл

dx

8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

у = х +х и у = х+1

9. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

у - = х

10. Исследовать на сходимость ряд

ВАРИАНТ 9

1. Упростить алгебраическое выражение

2. Вычислить предел последовательности

3. Вычислить предел последовательности

4. Вычислить предел функции

5. Найти производную функции

у = (1+5х)

6. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции

f(х) = х - 6х +х

7. Найти неопределенный интеграл

х sin х dx

8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

у = х и у = 4х

9. Найти общее решение дифференциального уравнения

с разделяющимися переменными

у = l

10. Исследовать на сходимость ряд

1+ + + +…+ +…

ВАРИАНТ 10

1. Упростить алгебраическое выражение

2. Вычислить предел последовательности

3. Вычислить предел последовательности

4. Вычислить предел функции

5. Найти производную функции

у = sin х

6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

f(х)= (х – 2)

7. Найти неопределенный интеграл

dx

8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

у = 2х-х и у = 0

9. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

у - у =

10. Исследовать на сходимость ряд

1+1+1+…+1+…

Билет № 1

1. Числовые последовательности.

2. Способы задания бинарных отношений.

3. Исследовать ряд на сходимость.

Билет № 2

1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

2. Случайные события и их вероятность.

3. Вычислить предел функции.

Билет № 3

1. Производная функции.

2. Основные свойства рядов.

3. Вычислить интеграл.

Билет № 4

1. Отношения.

2. Применение производных к исследованию функций.

3. Определение вероятности события.

Билет № 5

1. Функция одной переменной.

2. Операции над множествами.

3. Найти производную функции.

Билет № 6

1. Предел функции.

2. Признак сходимости рядов с положительными членами.

3. Определить свойства бинарного отношения.

Билет № 7

1. Два замечательных предела.

2. Определение вероятности события.

3. Решить дифференциальное уравнение.

Билет № 8

1. Сложение вероятностей.

2. Свойства операций над множествами.

3. Вычислить предел функции.

Билет № 9

1. Дифференциал функции. Свойства дифференциала функции.

2. Свойства бинарных отношений.

3. Исследовать ряд на сходимость.

Билет № 10

1. Необходимый признак сходимости рядов.

2. Определенный интеграл.

3. Определение вероятности события.

Билет № 11

1. Неопределенный интеграл.

2. Операции над событиями.

3. Исследовать ряд на сходимость.

Билет № 12

1. Дифференциальные уравнения (основные понятия).

2. Умножение вероятностей.

3. Изобразить множество с помощью диаграммы Эйлера-Венна.

Билет № 13

1. Числовые ряды.

2. Свойства вероятностей.

3. Решить дифференциальное уравнение.

Билет № 14

1. Признак Даламбера.

2. Свойства вероятностей.

3. Вычислить интеграл.

Билет № 15

1. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

2. Типы отношений.

3. Вычислить вероятность события.

Билет № 16

1. Множества и отношения.

2. Признак Коши.

3. Решить дифференциальное уравнение.

Билет № 17

1. Производная функции.

2. Операции над множествами.

3. Исследовать ряд на сходимость.

Билет № 18

1. Случайные события и их вероятность.

2. Числовые последовательности.

3. Вычислить интеграл.

Билет № 19

1. Неопределенный интеграл.

2. Отношения.

3. Изобразить множество с помощью диаграммы Эйлера-Венна.

Билет № 20

1. Признак сходимости рядов с положительными членами.

2. Производная функции.

3. Определить вероятность события.

Список литературы

1. Виноградов И. М.Элементы высшей математики. - М: Высш. шк., 2007.

2. Григорьев В.П. Элементы высшей математики. - М: Высш. шк., 2008

3. Григорьев С.Г. Математика: учебник для студентов сред. проф.

учреждений / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусева. – 2-е

изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 384 с.

4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс,

4-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2008.

5. Спирина. М.С. Теория вероятностей и математическая статистика:

учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / М.С. Спирина,

П.А. Спирин. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 352 с.

6. Шипачев В. Основы высшей математики: учебное пособие для ВТУЗов. –

М: Высш. шк., 2007

7. Э.С. Маркович «Курс высшей математики», М., 2007 г

8. Н.В. Богомолов «Математика» СПОМ, «Дрофа», 2008г

9. «Задачи и упражнения по математическому анализу» под ред. Демидовича, М., АСТ, 2006г

10. «Дидактические материалы для ссузов» под ред. О.Н. Афанасьевой, М., «Высшая школа», 2009

11. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 573 с.

12. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / М.С. Спирина, П.А. Спирин. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 352 с.

13. Григорьев С.Г. Математика: учебник для студентов сред. проф. учрежде-ний / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусева. – 2-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 384 с.:

Методические пособия:

1 Справочный материал и методические указания для самостоятельной ра-боты по математике студентов -заочников. –Калининград, ГАУ СПО КСТ, 2011.

2 Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа (Математика для техникумов) [Электронный учебник] /Г.Н Яковлев. - Режим доступа: http://lib.mexmat.ru/books/78472/.

3 Калашникова В.А. Методическое пособие: «Конспекты лекций по математике» [Электронный ресурс] /В.А. Калашникова. - Режим доступа: http://www.exponenta.ru/educat/systemat/kalashnikova/inde/.

4 Курош А.Г. Курс высшей алгебры [Электронный учебник] /А.Г. Курош. - Режим доступа: http://www.gaudeamus.omskcity.com/PDF_library_natural-science_8.html/

5 Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия [Электрон-ный учебник] /А.И. Кострикин. - Режим доступа: http://www.gaudeamus.omskcity.com/PDF_library_natural-science_8.html/

Справочная литература:

1) Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. -М.: Наука, 2007.

2) Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Справочное пособие по высшей математике. Т.1: Математический анализ: введение в ана-лиз, производная, интеграл. – М.: Едиториал УРСС, 2008. – 360 с.

Интернет-ресурсы

1) http://www.youtube.com/watch?v=1546Q24djU4&feature=channel (Лекция 8. Основные сведения о рациональных функциях)

2) http://www.youtube.com/watch?v=TxFmRLiSpKo (Геометрический смысл производной)

3) http://www.youtube.com/watch?v=PbbyP8oEv-g (Лекция 1. Первообразная и неопределенный интеграл)

4) http://www.youtube.com/watch?v=2N-1jQ_T798&feature=channel (Лекция 5. Интегрирование по частям)

5) http://www.youtube.com/watch?v=3qGZQW36M8k&feature=channel (Лекция 2. Таблица основных интегралов)

6) http://www.youtube.com/watch?v=7lezxG4ATcA&feature=channel (Лекция 3. Непосредственное интегрирование)

7) http://www.youtube.com/watch?v=s-FDv3K1KHU&feature=channel (Лек-ция 4. Метод подстановки)

8) http://www.youtube.com/watch?v=dU_FMq_lss0&feature=channel (Лекция 12. Понятие определенного интеграла)

9) http://www.youtube.com/watch?v=wg_AIYBB0dg&feature=related (Ги-перметод умножения)

10) http://www.youtube.com/watch?v=C_7clQcJP-c (Теория вероятно-сти)

11) http://www.youtube.com/watch?v=dZPRzB1Nj08 (Лекция 6. Комплексные числа (часть 1))