Добавил:

squirrel Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

Методичка 5175 Теор вер

.pdf

Скачиваний:

307

Добавлен:

06.06.2020

Размер:

1.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Дискретная случайная величина задана рядом распределения:

0,2

0,25

0,2

Найти: а)

неизвестную вероятность

;

б)

функцию распределения

и построить ее график;

в)

математическое ожидание

;

г)

дисперсию

;

д)

Брошены две игральные кости. Случайная величина

– модуль

разности выпавших очков. Построить вероятностный ряд для

. Найти ее

10. Непрерывная случайная величина

задана с помощью функции

плотности распределения вероятностей

Найти: а)	параметр ;
б)	функцию распределения	и построить ее график;
в)	математическое ожидание	и дисперсию	;

		г)	.
11.		Случайная величина		распределена равномерно на			Напи-
сать	и	. Найти	и	. Вычислить
12.		Случайная величина		распределена нормально с математиче-
ским ожиданием			и дисперсией			. Написать	функцию
плотности распределения вероятностей					. Вычислить

Вариант 30

1.В кондитерской имеется 5 разных сортов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из 4 пирожных?

2.Каждый член жюри конкурса красоты, состоящего из 4 членов, выбирает победительницу независимо от остальных. Найти вероятность то-

го, что все члены жюри выберут одну и ту же девушку, если участниц было

3.Из колоды в 36 листов наудачу извлекают 3 карты. Какова вероятность того, что все карты трефовой масти?

4.Среди 30 лотерейных билетов есть один выигрышный. Какова вероятность того, что из трех купленных билетов один окажется выигрышным?

5.В цехе работают 25 станков, из них 15 – марки А, 4 – марки Б, 6 – марки С. Изделия высшего качества на этих станках производятся с вероятностями 0,85; 0,75 и 0,7 соответственно. Какова вероятность изготовления изделия высшего качества?

6.	Монета брошена 12 раз. Какова	вероятность того, что
«герб = орел» выпадет 7 раз?
7.	Телефонная станция обслуживает 5000	абонентов. Для каждого

абонента вероятность того, что он позвонит в течение часа, равна 0,0004. Найти вероятность того, что в течение часа на станцию позвонят не более трех абонентов.

8. Дискретная случайная величина задана рядом распределения:

			–20	0		20		40	60

			0,1			0,2		0,1	0,3

Найти: а)		неизвестную вероятность					;
	б)	функцию распределения						и построить ее график;
	в)	математическое ожидание					;
	г)	дисперсию			;
	д)				.

9. В ящике 7 белых и 3 черных шара. Наудачу берут 4 шара. Случайная величина – число черных шаров среди взятых. Построить вероятност-

ный ряд для . Найти ее	и	.
10. Непрерывная случайная величина			задана с помощью функции
плотности распределения вероятностей			:

Найти: а)	параметр ;
б)	функцию распределения	и построить ее график;
в)	математическое ожидание	и дисперсию	;
г)	.

	11. Случайная величина			распределена равномерно на			. Напи-
сать	и	Найти	и		. Вычислить
	12. Случайная величина			распределена нормально с математическим
ожиданием		и дисперсией			.	Написать функцию плотности
распределения вероятностей				и вычислить		.

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА 11. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Примерный вариант расчетной работы с решением

Задача 1

Провести полную обработку экспериментальных данных по заданной выборке объема , взятой из генеральной совокупности нормально распре-

деленной случайной величины					с заданной доверительной вероятностью .
(1). Найти вариационный ряд, полигон частот.
(2).	Составить			интервальную		таблицу	по данным выборки (взять
7 10 интервалов), построить гистограмму частот.
(3).	Методом условных вариант найти выборочное среднее									и выбо-
рочную дисперсию .
(4).	Найти доверительный интервал для							.
	а)	в случае известной (в качестве известной							взять найденную
величину	);
	б)	в случае неизвестной .
(5).	Найти доверительный интервал для среднеквадратичного откло-
нения			.
нения			.
(6).	По критерию Пирсона проверить гипотезу о нормальном распре-
делении генеральной совокупности при							;
51	36		43	52	37	45	49	42	51	42
45	43		45	48	44	40	45	46	44	43
47	38		47	48	46	40	44	37	39	46

Задача 2

На производстве предложена новая технология изготовления ламп. Утверждается, что она обеспечивает меньший технологический разброс светоотдачи, по сравнению со старой. Для проверки изготовлено:

ламп по старой технологии со значениями светоотдачи (лм/Вт):

ламп по новой технологии со светоотдачей:

Требуется проверить предположение разработчиков при уровне значимости .

Задача 3

Автомат изготавливает детали контролируемого размера, который должен составлять 20 мм. Известно, что стандартное отклонение мм. В случайной выборке объема 25 деталей, средний размер составил 19,8

мм. Правильно ли настроен автомат? Проверьте это при уровне значимости

Решение

Задача 1

(1). Найти вариационный ряд, полигон частот.

Результаты наблюдений зафиксированы в порядке их появления. Объем выборки равен количеству наблюдений . Для составления вариационного ряда (аналог дискретной случайно величины) упорядочим вы-

борочные данные в порядке	возрастания
. Составим табл. 1, в которой в первой строке записываем значе-
ния в порядке возрастания от	до	, а во второй строке указываем
частоты наблюдений , т.е. количества появлений каждого значения			в

выборке. В третьей строке указываем относительные частоты появлений значений : . Последний столбец – контрольный, для проверки пра-

вильности заполнения последних двух строк таблицы. Заметим, что должны выполняться равенства

Для заданной выборки имеем	,	, по этим данным
определяем размах выборки		,

Таблица 1

Статистический ряд распределения

	36		37	38	39		40	42	43	44	45	46	47	48		49	51		52

	1		2	1	1		2	2	3	3	4	3	2	2		1	2		1	30

																				1
																				1

		Для построения полигона частот в прямоугольной системе координат
		откладываем по оси абсцисс значения вариант													, а по оси ординат –
частоты вариант						. Полученные точки												соединяем

последовательно ломаной:

Заметим, что для построения полигона относительных частот ломаной соединяются точки .

(2). Составить интервальную таблицу по данным выборки (взять 7 10 интервалов), построить гистограмму частот.

Для составления интервальной таблицы (аналог непрерывной случайной величины) необходимо подобрать число интервалов и определить

длину интервалов из условия , где – размах выборки. Величину подбираем целым числом в диапазоне от 6 до 10. Порядок определяется

формулой Стерджесса

дающей наиболее удобное количество интервалов для обработки выборки объема , в нашем случае .

Поскольку


			,
			,
				,
				,
					,
то удобнее выбрать	, а значит	.			,
то удобнее выбрать	, а значит	.

Полученные данные позволяют заполнить интервальную табл. 2, в которой во втором столбце указываем промежутки значений, в третьем – се-

редины		промежутков. В четвертый столбец записываем количе-

ство	значений , попавших в соответствующий промежуток, в пятом

столбце подсчитываем накопленные частоты, в шестом – плотность частот , в седьмом столбце – плотность относительных частот , в

восьмом – накопленные относительные частоты (последние ячейки в пятом и восьмом столбцах должны быть равны и соответственно). Обычно левый конец каждого промежутка включается в интервал, а правый – нет, кроме последнего, который является отрезком.

							Таблица 2
		Интервальный ряд распределения

1	2	3	4	5	6	7		8

№п п
№п п

1		37	3	3	1,5
1		37	3	3	1,5

2		39	2	5	1
2		39	2	5	1

Окончание табл. 2

1	2	3	4	5	6	7	8

№п п
№п п

3		41	2	7	1
3		41	2	7	1

4		43	5	12	2,5
4		43	5	12	2,5

5		45	7	19	3,5
5		45	7	19	3,5

6		47	5	24	2,5
6		47	5	24	2,5

7		49	3	27	1,5
7		49	3	27	1,5

8		51	3	30	1,5		1
8		51	3	30	1,5		1

Для построения гистограммы частот в прямоугольной системе коор-

динат	на каждом промежутке		строится прямоугольник высо-
той	, где – длина интервала. При этом площадь каждого прямо-

угольника	равна	,	а следовательно сумма площадей всех

прямоугольников должна равняться

В нашем случае а сумма площадей

(3). Методом условных вариант найти выборочное среднее и выборочную дисперсию .

Для нахождения выборочного среднего

и исправленной выборочной дисперсии

где – выборочная дисперсия, применим метод услов-

ных вариант. Этот метод состоит в том, что по исходным данным строятся новые, позволяющие упростить вычисления, так называемые «услов-

ные», варианты , где параметр называется «ложным нулем»

(этот параметр выбирается произвольно). В нашем случае для удобства в качестве параметра выберем варианту с наибольшей частотой .

Используя табл. 2, составляем табл. 3, в которой первые четыре столбца те же. Столбцы с пятого по восьмой заполняем данными, необходимыми для вычисления. Суммы по пятому, шестому и седьмому столбцы

используем для вычисления величин		,		,

а выборочное среднее вычислим по формуле			, выборочную
дисперсию	. Восьмой столбец –		контрольный,

он необходим для проверки правильности заполнения предыдущих столбцов, а именно должно быть выполнено равенство

										Таблица 3
		Интервальный ряд (с условными вариантами)

1		2	3	4	5		6	7		8

№п п

1			37	3	–4		–12	48		27

2			39	2	–3		–6	18		8

3			41	2	–2		–4	8		2

4			43	5	–1		–5	5		0

5				7	0		0	0		7

6			47	5	1		5	5		20

7			49	3	2		6	12		27

8			51	3	3		9	27		48

				30	–4		–7	123		139

	В нашем случае					, тогда			(
	В нашем случае					, тогда			(

,		,

Проверим результат контрольного столбца:
. Верно .
Таким образом, выборочное среднее		, выборочная диспер-
сия	, а следовательно исправленное среднеквадратичное откло-

нение	.
(4). Найти доверительный интервал для		.
а)	в случае известной (в качестве известной взять найден-
ную величину	);
б)	в случае неизвестной .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория вероятностей и математическая статистика

#
06.06.20202.09 Mб212Методичка 4816 Теор вер.pdf
#
06.06.20201.64 Mб307Методичка 5175 Теор вер.pdf