Методичка 5175 Теор вер

Другая типовая задача:

В урне 4 белых и 6 черных шаров. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие ), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие ).

Решение:

1 способ. После первого испытания в урне осталось 9 шаров, из них 4

белых. Искомая условная вероятность .

2 способ. Этот же результат можно получить по формуле, полученной из теоремы умножения вероятностей:

Действительно, вероятность появления черного шара при первом ис-

, т.е. вероятность того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором − белый. Общее число исходов − совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений

Ответ: .

Задача 4

1 способ. Событие {хотя бы из одного ящика вынут белый шар}

можно представить в виде суммы , где события и означают выборку одного белого шара из первого и второго ящика соответственно. Вероятность вытащить белый шар из первого ящика равна

11

щиеся в попадании в больницы № 1, № 2, № 3 и № 4, соответственно, при-

Б) Сохраним прежние обозначения и воспользуемся вероятностью, найденной в пункте А), . По условию событие наступило, значит, для нахождения необходимых вероятностей применяем формулы Байеса:

Предположим, что в условиях формулы полной вероятности событие уже наступило. Тогда условные вероятности гипотез вычисляются по формулам Байеса:

где

Таким образом, при том условии, что операция прошла успешно, вероятности того, что больной оперировался в 1-й, 2-й, 3-й и 4-й клиниках равны соответственно:

14

Задача 6

В данном случае вероятность того, что взятая наугад буханка имеет

делия к изделию. Поэтому можно считать, что мы имеем дело со схемой независимых испытаний, и, значит, можем воспользоваться формулой Бер-

нулли:

Пусть производится серия независимых опытов, в каждом из которых может произойти или не произойти событие , причем вероятность наступления события в каждом опыте равна , а вероятность «ненаступления» равна .Тогда вероятность того, что событие в серии испытаний наступит ровно

раз, вычисляется по формуле Бернулли:

В нашем случае,

Ответ:

Другая типовая задача:

Система радиолокационных станций ведет наблюдение за группой объектов, состоящей из 8 единиц. Каждый объект может быть (независимо от других) потерян с вероятностью 0,1. Найти вероятность того, что хотя бы один из объектов будет потерян.

Решение:

Пусть событие {потерять системой радиолокационных станций хотя бы один объект}, тогда вероятность этого события равна сумме вероятностей событий, состоящих в том, что локатор потеряет один, два, и т.д., восемь объектов, т.е. , где каждое слагаемое вычисляется по формуле Бернулли.

Но проще искомую вероятность можно найти, используя формулу вероятности события с помощью противоположного события. В нашем случае

15

б) не менее 75 раз? в) не более 74 раз?

Решение:

В данном случае целесообразно воспользоваться интегральной фор-

мулой Муавра − Лапласа:

Пусть производится серия из ( – велико) независимых опытов, в каждом из которых может произойти или не произойти событие , причем вероятность наступления события в каж-

а) По условию задачи Тогда, воспользовавшись интегральной формулой и нечетностью

функции Лапласа, получаем:

б) Требование того, чтобы событие наступило не менее 75 раз, означает следующее: число появлений события может быть равно либо 75, либо 76, … , либо 100.Тогда следует принять . Воспользовавшись интегральной формулой и свойствами функции Лапласа, получаем:

–

–

17

в) Событие {мишень поражена не более 74 раз} и событие {мишень поражена не менее 75 раз} являются противоположными. Поэтому сумма их вероятностей равна 1. Следовательно, с учетом пункта б) искомая вероятность:

2) Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что один учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Какова вероятность того, что тираж содержит 5 бракованных книг?

Решение:

Задача 8

а) Так как сумма вероятностей возможных значений дискретной слу-

ность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки .

Если , то , так как на интервале нет ни одного значения данной случайной величины;

18