Методичка 5175 Теор вер
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Российский химико-технологический университет имени Д. И. Менделеева
СБОРНИК РАСЧЕТНЫХ РАБОТ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
ТОМ III
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Утверждено Редакционным советом университета в качестве учебного пособия
Москва
2017
УДК 517 (075) ББК 22.161.1 С23
Авторы: Е. Г. Рудаковская, Е. Ю. Напеденина, В. В. Осипчик, Ю. Т. Напеденин, В. Л. Орлова, А. Н. Шайкин, К. А. Иншакова
Рецензенты:
Доктор физико-математических наук, профессор Российского химикотехнологического университета им. Д. И. Менделеева
В. М. Аристов
Кандидат физико-математических наук, доцент Московского автомобиль- но-дорожного государственного технического университета (МАДИ)
С. А. Изотова
Сборник расчетных работ по высшей математике: в 3 т.: учеб.
С23 пособие. Т. III: Теория вероятностей и математическая статисти-
ка/Е. Г. Рудаковская, Е. Ю. Напеденина, В. В. Осипчик, Ю. Т. Напеденин, В. Л. Орлова, А. Н. Шайкин, К. А. Иншакова; под ред. Е. Г. Рудаковской. – М.: РХТУ им. Д. И. Менделеева, 2017. –124 с.
ISBN 978-5-7237-1462-5 (Т. III)
В сборнике расчетных работ по высшей математике подобраны задачи и примеры, охватывающие все разделы программы по дисциплине «Математика» в соответствии с ФГОС 3 поколения. По каждому разделу приведены вариант типовой расчетной работы с подробным решением, содержащим основные определения, формулы, алгоритм решения конкретной задачи и ответ, а также 30 вариантов индивидуальных заданий.
Предназначено для самостоятельной работы студентов с целью закрепления полученных навыков и подготовки к контрольным работам, зачетам и экзаменам.
УДК 517 (075) ББК 22.161.1
ISBN 978-5-7237-1462-5 (Т. III) © Российский химико-технологический ISBN 978-5-7237-1377-2 университет им. Д. И. Менделеева, 2017
Содержание |
|
РАСЧЕТНАЯ РАБОТА 10. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ................................ |
4 |
ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ РАСЧЕТНОЙ РАБОТЫ С РЕШЕНИЕМ .................................. |
4 |
ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНОЙ РАБОТЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ (1–30).. |
26 |
РАСЧЕТНАЯ РАБОТА 11. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ........... |
74 |
ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ РАСЧЕТНОЙ РАБОТЫ С РЕШЕНИЕМ ................................ |
74 |
ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНОЙ РАБОТЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ (1–30).. |
91 |
3
РАСЧЕТНАЯ РАБОТА 10. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Примерный вариант расчетной работы с решением
Задача 1
Сколько существует трехзначных чисел, которые делятся на 5?
Задача 2
Десять карточек, на которых по одной написаны буквы
А А А Е И К М М Т Т , случайным образом выкладываются в ряд одна за другой. Какова вероятность того, что получится слово МАТЕМАТИКА?
Задача 3
Мастер, имея 10 деталей, из которых 3 – нестандартных, берет и проверяет детали одну за другой, пока ему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две детали.
Задача 4
Водном ящике 3 белых и 5 черных шаров, в другом ящике – 6 белых
и4 черных шара. Найти вероятность того, что, хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.
Задача 5
Впервой коробке находится 20 деталей, из них 18 стандартных, во второй коробке – 10 деталей, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята одна деталь и переложена в первую коробку. Какова вероятность того, что деталь, наудачу извлеченная после этого из первой коробки, окажется стандартной?
Задача 6
Хлебозавод выпускает 2/3 изделий высшего сорта. Взяли наугад четыре изделия. Какова вероятность того, что среди них только одно высшего сорта?
Задача 7
Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Какова вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 75 раз?
Задача 8
Дискретная случайная величина задана законом распределения:
4
Найти: а) |
неизвестную вероятность |
; |
|
|
б) |
функцию распределения |
и построить ее график; |
|
|
в) |
математическое ожидание |
; |
|
|
г) |
дисперсию |
и среднеквадратичное отклонение |
; |
|
д) |
|
|
|
|
Задача 9
Вероятности того, что студент сдаст экзамен в сессию по математическому анализу и органической химии, соответственно равны 0,7 и 0,8. Составить закон распределения случайной величины – числа экзаменов, которые сдаст студент.
Задача 10 |
|
Непрерывная случайная величина |
задана с помощью функции плот- |
ности распределения вероятностей |
: |
Найти: а) |
параметр ; |
|
|
б) |
функцию распределения |
и построить ее график. |
|
в) |
математическое ожидание |
и дисперсию |
. |
г) |
|
|
|
|
|
Задача 11 |
|
|
|
|
|
Непрерывная |
случайная величина |
распределена |
равномерно на |
||
. Написать |
и |
Найти |
и |
. Вычислить |
|
Задача 12 |
|
|
|
|
|
Случайная величина |
распределена |
нормально с |
математическим |
||
ожиданием |
и дисперсией |
|
. Написать функцию плотно- |
||
сти распределения вероятностей |
и вычислить |
. |
|||
5
Решение
Задача 1 |
|
Для наглядности обозначим данное число тремя звездочками: |
|
Комбинации будем считать по разрядам – слева направо: |
|
в разряд сотен можно записать любую из |
цифр |
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Цифра 0 не подходит, так как в этом случае число перестает быть трехзначным;
в разряд десятков можно записать любую из 10-ти цифр: (цифра 0 в данном случае может быть использована);
по условию, число должно делиться на 5. Напомним, что число делится на 5, если оно заканчивается на 5 либо на 0. Таким образом, в разряде единиц нас устраивают 2 цифры, а именно 0 или 5.
Итого, по правилу произведения:
если объект |
может быть выбран из некоторой совокупности |
||
объектов |
способами и после каждого такого выбора объект |
||
может быть выбран способами, то пара объектов |
в |
||
указанном порядке может быть выбрана |
способами. |
|
|
Существует |
трехзначных чисел, |
которые де- |
|
лятся на 5 (т.е. «каждая из 9-ти цифр в разряде сотен комбинируется с каждой из 10-ти цифр разряда десятков и с каждой из двух цифр в разряде единиц»).
Ответ: .
Другая типовая задача:
Сколькими способами можно раздать три карты из колоды в 36 карт трем игрокам, сдавая по одной карте?
Решение различными способами:
1 способ. Будем следовать подходу, описанному в предыдущей задаче
(1), при этом необходимо заметить, что в данном случае здесь важно не только то, какие три карты будут извлечены из колоды, но и то, КАК они будут распределены между игроками (т.е. важен порядок следования карт).
По формуле размещений: |
|
|
|
спосо- |
|
|
бами можно раздать 3 карты игрокам.
6
2 способ. Три карты из колоды можно извлечь
способами.
Поскольку необходимо учесть порядок получения карт игроками, нужно вычислить количество перестановок среди выбранных трех карт. На примере одной из подсчитанных комбинаций (10 треф ♣, бубновый туз ♦, дама пик ♠) рассмотрим, как могут распределяться эти три карты между игроками (для определенности – первая карта раздается первому игроку, следующая – второму, и т.д.):
10♣, Т♦, Д♠; 10♣, Д♠, Т♦; Т♦, 10♣, Д♠; Д♠, 10♣, Т♦; Д♠, Т♦, 10♣; Т♦, Д♠, 10♣.
Получаем различных комбинаций (перестановок): на первом месте в указанной тройке может находиться любая из этих трех карт, на втором – любая из двух оставшихся, на третьем – одна оставшаяся карта.
Аналогичный факт справедлив для любого уникального набора из 3-х карт. А таких наборов, как мы уже вычислили, . Итого общее количество вариантов сдать всю колоду трем игрокам
.
Заметим, что указанные способы решения задачи позволяют наглядно
убедиться в правильности формулы |
. |
|
||
|
|
|
Ответ: |
. |
Задача 2 |
|
|
||
Применим классическое определение вероятности: |
|
|||
Вероятностью случайного события |
в данном испытании |
|
||
называется число, обозначаемое |
и вычисляемое по фор- |
|
||
муле: |
|
|
||
|
|
, |
|
|
|
|
|
||
7
где – число всех возможных элементарных исходов рассматриваемого испытания, – число тех элементарных исходов из всех возможных, которые благоприятствуют появлению события .
Общие число всех исходов соответствует количеству вариантов расположить десять различных букв в ряд, т.е. Чтобы вычислить число благоприятных исходов, необходимо учесть, что в нашем случае некоторые буквы повторяются, а следовательно, слово может получиться не в одном из вариантов, а в нескольких (а именно, переставляя
три карточки с буквой , две карточки с буквой |
и две карточки с буквой |
|||||||
будет получаться одно и то же слово), т.е. |
|
. В итоге, иско- |
||||||
мая вероятность равна |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
. |
Другие типовые задачи:
1) Студент знает ответы на 25 экзаменационных вопросов из 60-ти. Какова вероятность сдать экзамен, если для этого необходимо ответить не менее чем на 2 из 3-х вопросов?
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
По условию всего имеется |
вопросов, среди которых |
«хоро- |
||||
ших» и, соответственно, |
|
«плохих». Число всех возможных |
|||||
исходов |
вычисляем, используя формулу для сочетаний, позволяющую |
||||||
подсчитать |
число способов |
выбрать 3 вопроса из 60: |
|
|
|||
|
|
||||||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для того чтобы сдать экзамен, нужно ответить на 2 или 3 вопроса.
Считаем благоприятствующие комбинации: |
|
|
|
||||||||
существует |
|
|
|
|
|
|
|
|
способов |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
для выбора двух «хороших» вопросов и одного «плохого»; |
|
||||||||||
существует |
|
|
|
|
|
способов |
для выбора |
||||
|
|
|
|||||||||
трех «хороших» вопросов. |
|
|
|
||||||||
Применяя правило суммы: |
|
|
|
||||||||
8
если объект А может быть выбран из некоторой совокупности |
|||
объектов способами, а объект может быть выбран |
спо- |
||
собами, то объект |
или |
может быть выбран |
спо- |
собами.
получаем, что число благоприятных исходов равно (без разницы с двумя или тремя «хорошими»).
По классическому определению вероятности: .
Таким образом, вероятность того, что студент сдаст экзамен, равна
.
Ответ: .
2) Колода из 32-х карт тщательно перетасована. Найти вероятность того, что все четыре туза лежат в колоде один за другим, не перемежаясь другими картами.
Решение:
Число всех возможных способов расположения карт в колоде равно
. Чтобы подсчитать число благоприятных исходов, сначала представим себе, что четыре туза располагаются каким-то образом один за другим и склеиваются между собой так, что они как бы составляют одну карту (неважно, что она оказалась толще, чем все остальные). В полученной колоде
стало – |
карт. Карты в этой колоде можно расположить числом |
способов, равным |
Количество всех благоприятных исходов получится, |
если это число умножить на – число возможных способов упорядочения
четырех тузов. Т.е. |
. Отсюда получаем искомую вероятность: |
||||||
|
|
|
|
. |
Ответ: |
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
3) Брошено 10 игральных костей. Предполагается, что все комбинации выпавших очков равновероятны. Найти вероятность того, что выпала хотя бы одна «6».
Решение:
Общее число исходов в данном случае равно 610.
9
К благоприятным исходам следует отнести выпадение одной, двух, трех и т. д. шестерок. Проще подсчитать число неблагоприятных исходов, т.е. исходов, когда не выпало ни одной шестерки. Их, по правилу произведения, , и, следовательно, число благоприятных исходов равно
– |
. |
|
|
|
|
|
В итоге, искомая вероятность равна |
– |
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
Данный результат можно было бы получить и используя формулу для вычисления вероятности с помощью противоположного события
.
Ответ: .
Задача 3
Событие {мастер проверил ровно две детали} означает, что при такой проверке первая деталь оказалась нестандартной, а вторая – стандартной. Значит, указанное событие является произведением двух событий
, где {первая деталь оказалась нестандартной} и {вторая деталь – стандартная}.
Используя классическое определение вероятности, получаем, что вероятность
.
Поскольку перед взятием второй детали у мастера осталось 9 деталей, из которых только 2 нестандартные и 7 стандартных, то вероятность события
при условии, что событие уже наступило, равна , т.е.
.
По теореме умножения вероятностей:
получаем, что |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
Ответ: .
10