Решение типовых задач.

Пример 8.1. По данным о стоимости основных производственных фондов и объеме валовой продукции необходимо определить уравнение связи, рассчитать параметры уравнения и определить тесноту связи. Связь предполагается линейная.

Стоимость основных производственных фондов, млн. сом.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Объем валовой продукции, млн. сом.	20	25	31	31	40	56	52	60	60	70

Решение. Принимая для этой связи уравнение прямой линии, определим его параметры на основе метода наименьших квадратов, решим следующую систему нормальных уравнений:

Расчеты указанных в системе уравнений сумм произведем в табличной форме:

Таблица 8.1

Стоимость основных производственных фондов, млн. сом х	Объем валовой продукции, млн. сом у	ху	Х2	У2
1	2	3	4	5	6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	20 25 31 31 40 56 52 60 60 70	20 50 93 124 200 336 364 480 540 700	1 4 9 16 25 36 49 64 81 100	400 625 961 961 1600 3136 2704 3600 3600 4900	19,4 25,0 30,6 36,2 41,8 47,4 53,0 58,6 64,2 69,
55	445	2907	385	22487	446

Получаем следующую систему уравнений:

Отсюда, =13,8; =5,6;

=13,8+5,6х.

Следовательно, с увеличением стоимости основных производственных фондов на1 млн. сом объем валовой продукции увеличивается в среднем на 5,6 млн. сом. Используя уравнение корреляционной связи, можно определить теоретическое значение для любой промежуточной точки (теоретическое значение выпуска продукции для любого промежуточного значения стоимости основных производственных фондов), гр. 6 таб. 9.1

Если параметры регрессионного уравнения определены верно, то должно соблюдаться равенство сумм теоретических и эмпирических значений стоимости основных производственных фондов, а сумма разностей между эмпирическими и теоретическими значениями стоимости основных производственных фондов должно быть равно нулю.

Окончательную проверку правильности расчета параметров уравнения связи можно произвести подстановкой и в систему нормальных уравнений.

Тесноту связи между стоимостью основных производственных фондов и выпуском продукции можно определить с помощью линейного коэффициента корреляции.

Рассчитаем величину линейного коэффициента корреляции на основании исходных данных и рассчитанных параметров из таб. 9.1.

На основании полученного результата можно сделать вывод, что зависимость между стоимостью основных производственных фондов и объемов реализованной продукции достаточно сильная.

Пример 8.2. Взаимосвязь между среднегодовой стоимостью основных производственных фондов, относительным уровнем затрат на реализацию продукции и стоимостью реализованной продукции характеризуется следующими данными:

Номер предприятия	Стоимость основных производственных фондов, млн. сом (Х)	Уровень затрат на реализацию (в % к стоимости основных производственных фондов)(z)	Объем реализованной продукции, млн. сом (y)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	3 3 5 6 7 6 8 9 9 10	4 3 3 5 10 12 12 11 15 15	20 25 20 30 32 25 29 37 36 40

Постройте линейное уравнение множественной регрессии, рассчитайте параметры уравнения. Вычислите множественный коэффициент корреляции. Сформулируйте выводы на основании приведенных расчетов.

Решение. Считая зависимость между этими показателями линейной, определим параметры уравнений регрессии .

Система нормальных уравнений для определения неизвестных параметров будет следующей:

Таблица 8.2 Расчет необходимых сумм для построения уравнения регрессии и определения тесноты связи

№ п/п/	x	z	y	X2	Z2	xz	xy	yz	Y2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	3 3 5 6 7 6 8 9 9 10	4 3 3 5 10 12 12 11 15 15	20 25 20 30 32 25 29 37 36 40	9 9 25 36 49 36 64 81 81 100	16 9 9 25 100 144 144 121 225 225	12 9 15 30 70 72 96 99 135 150	60 75 100 180 224 150 232 333 324 400	80 75 60 150 320 300 348 407 540 600	400 625 400 900 1024 625 841 1369 1296 1600
	66	90	294	490	1018	688	2078	2880	9080

Система уравнений примет следующий вид:

Отсюда, = - 0,0826

Следовательно.

Параметр а₁ показывает, что с увеличением стоимости основных производственных фондов на 1 млн. сом объем продукции увеличивается на 2,672 млн. сом. Параметр а₂ показывает, что с увеличение уровня затрат на реализацию на 1% объем продукции снижается на 0,0826 млн. сом.

1. Определим тесноту связи между изучаемыми признаками.

Множественный коэффициент корреляции для двух факторных признаков вычисляется по формуле:

где, парные коэффициенты можно рассчитать следующим образом:

Рассчитаем множественный коэффициент корреляции для примера 9.2.

Сначала найдем парные коэффициенты корреляции:

Множественный коэффициент корреляции равен

Пример 8.3. Исследуем связь между участием населения одного из городов в экологических акциях и уровнем его образования. Результаты обследования характеризуются следующими данными:

Группы рабочих	Численность населения города	Из них
		Участвующих в акциях	Не участвующих в акциях
Имеют среднее образование Не имеют среднего образования	100 100	78 32	22 68
Итого	200	110	90

Необходимо определить тесноту связи между уровнем образования и участием населения в экологических акциях.

Решение. Для определения тесноты связи двух качественных признаков, каждый из которых состоит только из двух групп, применяются коэффициенты ассоциации и контингенции.

Коэффициенты вычисляются по формулам:

Ассоциации:

Контингенции:

Таким образом, связь между участием населения города в экологических акциях и его образовательным уровнем имеет место, но не столь существенна.

Пример 8.4. По данным одной группы однотипных предприятий о реализованной продукции (х, млн. сом) и накладных расходах по реализации этой продукции (у, тыс. сом) рассчитаем коэффициент рангов Спирмена и коэффициент знаков Фехнера.

Решение. Для расчета коэффициента рангов Спирмена необходимо проранжировать значения факторного и результативного признаков, присвоить ранг каждому значению. Определить ранг для каждого исходного значения х и у, найти разность полученных рангов, возвести их в квадрат и найти сумму.

Все необходимые расчеты в таблице 9.3

Таблица 8.3

Номер предприятия	х	у	Ранжирование				Сравнение рангов		Разность рангов
			х	у	ранг
					Rx	Ry	Rx	Ry
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	12.0 18.8 11.0 29.0 17.5 23.4 35.6 15.4 26.1 20.7	462 939 506 1108 872 765 1368 1002 998 804	11.0 12.0 15.4 17.5 18.8 20.7 23.4 26.1 29.0 35.6	462 506 765 804 872 939 998 1002 1108 1368	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	2 5 1 9 4 7 10 3 8 6	1 6 2 9 5 3 10 8 7 4	1 -1 -1 0 -1 4 0 -5 1 2	1 1 1 0 1 16 0 25 1 4
	209,5	8824

Следовательно, связь между исследуемыми показателями умеренная.

Коэффициент знаков (коэффициент Фехнера) вычисляется на основании определения знаков отклонений вариантов двух взимосвязанных признаков от их средних величин.

К_ф =

Сначала рассчитаем средние значения факторного признака (объем реализованной продукции) и результативного признака (накладные расходы по реализации продукции).

Затем необходимо найти отклонения х и у от их средних величин и определить совпадения и несовпадения этих отклонений.

Таблица 8.4 Данные для расчета коэффициента Фехнера

Номер предприятия	х	у			Совп. и несовп.
1	2	3	4	5	6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	12.0 18.8 11.0 29.0 17.5 23.4 35.6 15.4 26.1 20.7	462 939 506 1108 872 765 1368 1002 998 804	- - - + - + + - + -	- + - + - - + + + -	A B A A A B A B A A
	209,5	8824

В графе 6 таб. 9.4 Определены совпадения и несовпадения знаков отклонений факторных и результативных признаков от их средних величин.

В итоге получилось 7 совпадений знаков отклонений и 3 несовпадения. Подставим полученные значения в формулу:

К_ф =