Уравнения связи
По форме зависимости различают: линейную регрессию, нелинейную регрессию.
а) линейная регрессия выражается уравнением прямой (линейной функцией), вида:
,
б) нелинейная регрессия выражается уравнением
параболы:
гиперболы: и т.д.
По направлению связи различают: прямую и обратную регрессию :
а) прямая регрессия (положительная), возникающая при условии, если с увеличением или уменьшением независимой величины значения зависимой также соответственно увеличиваются или уменьшаются;
б) обратная (отрицательная) регрессия, появляющаяся при условии, что с увеличением или уменьшением независимой величины зависимая соответственно уменьшается или увеличивается.
Парная регрессия характеризует связь между двумя признаками: результативным и факторным. Аналитическая связь между ними описывается уравнениями прямой, параболы, гиперболы и т.д.
Если результативный признак с увеличением факторного равномерно возрастает или убывает, то такая зависимость является линейной и выражается уравнением прямой:
,
у - индивидуальные значения результативного признака
х - индивидуальные значения факторного признака
а0, а1 - параметры уравнения регрессии.
Оценка параметров уравнения регрессии (а0, а1) осуществляется методом наименьших квадратов, в основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности.
Отсюда система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии:
где n - объем исследуемой совокупности (число единиц наблюдения).
В уравнениях регрессии параметр а0 показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов; параметр а1 (а в уравнении параболы и а2) - коэффициент регрессии, показывает насколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу собственного измерения.
Если связь между признаками нелинейная и с возрастанием фактического признака происходит ускоренное возрастание или убывание результативного признака, коэффициент зависимости может быть выражен параболой второго порядка.
Расчет параметров уравнения производится по методу наименьших квадратов
Если результативный признак с увеличением факторного признака возрастает не бесконечно, а стремится к конечному пределу, то для анализа такого признака применяется уравнение гиперболы:
система уравнений:
Построение моделей множественной регрессии включает несколько этапов:
1. Выбор формы связи (уравнения регрессии);
2. Отбор факторных признаков;
3. Обеспечение достаточного объема совокупности.
Выбор типа уравнения затрудняется тем, что для любой формы зависимости можно выбрать целый ряд уравнений, которые в определенной степени будут описывать эти связи. Основное значение имеют линейные модели в силу простоты и логичности их экономической интерпретации.
Наиболее простым видом уравнения множественной регрессии является линейное уравнение с тремя независимыми переменными:
А система нормальных уравнений для
определения неизвестных параметров
будет следующей:
