3. Дисперсия по способу моментов.

Для расчета определяются первый (m₁) и второй (m₂) центральные моменты, а затем и дисперсия по формуле

σ² = i²*(m₂-m₁);

где i - величина интервала

A - условный нуль, в качестве которого удобно использовать середину интервала с наибольшей частотой

m1 = - начальный момент первого порядка

m2 = - начальный момент второго порядка.

Если сравнить формулу m2 с формулой дисперсии по способу отсчета от условного нуля. Первый член правой части уравнения дисперсии и есть второй момент.

Рассчитаем момент второго порядка на основании примера 3: m2 = 33/20 = 1,65.

Для вычисления первого момента нужны данные гр. 5 взвесить и найти из них среднюю величину. Результаты взвешивания помещаем в гр. 8.

Определим первый момент m1= 7/20-0,35

Определим дисперсию

σ² = 2²(1,65-0,35²)=6,11

3. Дисперсия альтернативного признака

Наряду с показателями вариации количественного признака определяются показатели вариации альтернативного признака. Альтернативными являются признаки, которыми обладают одни единицы изучаемой совокупности и не обладают другие. Например, население подразделяется на мужчин и женщин, т.е. в данном случае это два взаимоисключающих варианта. При статистическом выражении колеблемости альтернативных признаков наличие изучаемого признака обозначается единицей (1), а его отсутствие - нулем (0). Доля вариантов, обладающих признаком обозначается р, а доля вариантов не обладающих признаком, обозначается q. Следовательно:

p+q=1

Среднее значение альтернативного признака

Дисперсия альтернативного признака:

Пример: На 10000 населения города приходится - 40000 мужчин, 6000 – женщин

Рассчитать дисперсию альтернативного признака

P= 4000/10000=0,4(доля мужчин)

q=6000/10000=0,6 (доля женщин)

Дисперсия

p+q не может быть больше единицы, а pq не может быть больше 0,25.

Виды дисперсий и правило их сложения.

Наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом, часто возникает необходимость проследить количественные изменения признака по группам, на которые разделяется совокупность, а также и между группами. Такое изучение анализа различных видов дисперсии.

Различают следующие виды дисперсий:

- внутригрупповые дисперсии;

- средние из внутригрупповых дисперсий;

- межгрупповые дисперсии;

- общая дисперсия.

Дисперсия, в отличие от других характеристик вариации, является аддитивной величиной. То есть в совокупности, которая разделена на группы по факторному признаку х, дисперсия результативного признака y может быть разложена на дисперсию в каждой группе (внутригрупповую) и дисперсию между группами (межгрупповую). Тогда, наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом, становится возможным изучение вариации в каждой группе, а также между этими группами.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака х по всей совокупности под влиянием всех факторов, вызвавших эту вариацию (отклонения). Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака x от общей средней и может быть вычислена как простая или взвешенная дисперсия.

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, вызванную влиянием признака-фактора х, положенного в основу группировки. Она характеризует вариацию групповых средних и равна среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней :

Для несгруппированных данных

Для сгруппированных данных

где – средняя арифметическая i-той группы;

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т. е. ту часть вариации, которая вызвана влиянием неучтенных факторов и не зависит от признака-фактора, положенного в основу группировки. Она характеризует вариацию индивидуальных значений относительно групповых средних, равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака у внутри группы от средней арифметической этой группы (групповой средней) и вычисляется как простая или взвешенная дисперсия для каждой группы:

Для несгруппированных данных

Для сгруппированных данных

где – n число единиц в группе.

На основании внутригрупповых дисперсий по каждой группе можно определить общую среднюю из внутригрупповых дисперсий:

Для несгруппированных данных

Для сгруппированных данных

Взаимосвязь между тремя дисперсиями получила название правила сложения дисперсий, согласно которому общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий:

Данное соотношение называют правилом сложения дисперсий. Согласно этому правилу, общая дисперсия, возникающая под действием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет группированного признака.

Зная любые два вида дисперсий, можно определить или проверить правильность расчета третьего вида.

Правило сложения дисперсий широко применяется при исчислении показателей тесноты связи, в дисперсионном анализе, при оценке точности типической выборки и в ряде других случаев.

В статистическом анализе широко используется показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в обще дисперсии. Он носит название эмпирического коэффициента детерминации

Этот показатель показывает долю (удельный вес) общей вариации изучаемого признака, обусловленную вариацией группированного признака.

Корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации носит название эмпирического корреляционного отношения

Данный показатель характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака. Эмпирическое корреляционное отношение измеряется в пределах от 0 до 1. Если =0, то группированный признак не оказывает влияния на результативный. Если =1, то результативный признак изменяется только в зависимости от признака положенного в основание группировка, а влияние прочих факторных признаков равно нулю. Промежуточные значения оцениваются в зависимости от их близости к предельным значениям.