Тема 6. Показатели вариации. Методические указания

Виды показателей вариации.

Средняя величина - это абстрактная обобщающая характеристика признака изучаемой совокупности, но она не показывает строение совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя величина не дает представления о том, как отдельные значения изучаемого признака группируются вокруг средней: сосредоточены ли они вблизи или значительно отклоняются от нее. В некоторых случаях отдельные значения признака близко прилегают к средне арифметической и мало от нее отличаются. В таких случаях средняя хорошо представляет всю совокупность. В других, наоборот, отдельные значения совокупности далеко отстают от средней, и средняя плохо представляет всю совокупность.

Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов.

Анализ вариации позволяет оценить степень зависимости изменений в изучаемом признаке от определенных ее факторов, оценить насколько однородной является данная совокупность в количественном, а иногда и в качественном отношении, а следовательно, насколько характерной является исчисленная средняя величина.

Средние характеристики дополняются показателями, измеряющими отклонения от средних, показателями вариации признака.

Простейшим из показателей вариации является размах вариации. Он представляет собой разность между наибольшим и наименьшим значениями варьирующего признака.

R = Х_max – Х_min

R не связан с частотами в вариационном ряду, его зависимость с max и min значениями придает ему неустойчивый характер.

Распределение отклонений можно уловить, исчислив отклонения всех вариант от средней, а чтобы дать им обобщающую характеристику, необходимо вычислить среднюю из этих отклонений.

Сумма отклонений вариант от средней всегда равняется "0", так как сумма положительных отклонений всегда равна сумме отрицательных отклонений. Следовательно, чтобы исчислить среднюю арифметическую из отклонений, нужно условно допустить, что все отклонения, положительные и отрицательные, имеют одинаковый знак.

Средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической называется средним линейным отклонением.

Среднее линейное отклонение

Для несгруппированных данных

Для сгруппированных данных

Первая формула применяется, если каждый вариант встречается один раз, а второй - в рядах с неравными частотами

Существует и другой способ усреднения отклонений вариантов от средней арифметической. Этот способ сводится к расчету квадратов отклонений вариантов от средней с их последующим осреднением. Новый показатель вариации - дисперсия, представляющая собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней арифметической.

Дисперсия

Для несгруппированных данных

Для сгруппированных данных

Корень квадратный из дисперсии - среднее квадратическое отклонение:

Для несгруппированных данных

Для сгруппированных данных

По своему абсолютному значению зависит не только от степени вариации признака но и от абсолютных уровней вариант и средней. Поэтому сравнивать вариант - х рядов с разными средними уровнями непосредственно нельзя. Для этого нужно вычислить процентное соотношения и, полученный показатель называется коэффициентом вариации:

Коэффициент вариации

Способы исчисления дисперсий.

Применяется несколько методов и соответствующих им формул вычисления дисперсии.

1. Дисперсия способом квадратов

2. Дисперсия способом отчета от условного нуля

3. дисперсия по способу моментов

4. Дисперсия альтернативного признака

Рассмотрим каждый из способов.

1) Дисперсия способом квадратов

Формулу для расчета дисперсии можно упростить:

Таким образом, дисперсия равна разности средней из квадратов вариант и квадрата средней из вариант совокупности:

Для сгруппированных данных

Для несгруппированных данных

2) Дисперсия способом отчета от условного нуля рассчитывается следующим образом

Вычисление дисперсий по формуле

является довольно трудоемкой процедурой. Для облегчения расчетных работ часто используются упрощенные способы определения дисперсий: В случае равных интервалов в вариационном ряду распределения используется способ отсчета от условного нуля (способ моментов). Для его понимания необходимо знать следующие свойства дисперсии: (ссылка)

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

Свойство 2. Если из всех значений вариант отнять какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений от этого не изменится

Свойство 3. Если все значения вариант разделить на какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений уменьшится от этого в А2 раз, а среднее квадратическое отклонение - в А раз:

Свойство 4. Если исчислить средний квадрат отклонений от любой величины А, которая в той или иной степени отличается от средней арифметической, то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений исчисленного от средней арифметической

При этом средний квадрат отклонений будет больше на вполне определенную величину - на квадрат разности между средней и этой условно взятой величиной.

Исходя из вышесказанного можно представить формулу расчета дисперсии способом отсчета от условного нуля.

Данный способ обычно применяется для рядов распределения с равными интервалами.