Статистическая медиана

Статистическая медиана – это значение величины X, которое делит упорядоченную по возрастанию или убыванию статистическую совокупность на 2 равных по численности части. В итоге у одной половины значение больше медианы, а у другой - меньше медианы.

Если X задан дискретно, то для определения медианы все значения нумеруются от 0 до N в порядке возрастания, тогда медиана при четном числе N будет лежать посередине между X c номерами 0,5N и (0,5N+1), а при нечетном числе N будет соответствовать значению X с номером 0,5(N+1).

Пример . Имеются данные о возрасте студентов-заочников в группе из 10 человек - X: 18, 19, 19, 20, 21, 23, 23, 25, 28, 30 лет. Эти данные уже упорядочены по возрастанию, а их количество N=10 - четное, поэтому медиана будет находиться между X с номерами 0,5*10=5 и (0,5*10+1)=6, которым соотвествует значения X₅=21 и X₆=23, тогда медиана: Ме = (21+23)/2 = 22 (года).

Если X задан в виде равных интервалов, то сначала определяется медианный интервал (интервал, в котором заканчивается одна половина частот f и начинается другая половина), в котором находят условное значение медианы по формуле:

где Ме – медиана;

Х_НМе – нижняя граница медианного интервала;

h_Ме – размах медианного интервала (разность между его верхней и нижней границей);

f_Ме – частота медианного интервала;

f_Ме-1 – сумма частот интервалов, предшествующих медианному.

Решение типовых задач.

Пример 1. Доходы пяти банков по операциям с ценными бумагами за отчетный период составили: 0,4; 0,7; 0,8; 1,1; 1,2 тыс.сом.

Определите средний доход банка по данной операции.

Решение. Так как представлены несгруппированные данные, для расчета среднего дохода банка необходимо применить среднюю арифметическую простую.

Средний доход пяти банков по операциям с ценными бумагами равен

4,2 / 5 = 0,84 тыс. сом.

Пример 2. Имеются следующие данные страховых организаций республики о числе заключенных договоров по личному страхованию.

№ организации	Число договоров, тыс., х	Число страховых организаций, f	Число заключенных договоров, xf
1	20	6	120
2	26	10	260
3	30	5	150
4	32	6	192
5	36	3	108
Итого		30	830

Определите среднее число заключенных договоров в расчете на одну страховую организацию республики.

Решение. Так как нам предоставлены сгруппированные данные для расчета среднего числа договоров на одну страховую организацию применим формулу средней арифметической взвешенной.

Среднее число договоров на одну страховую организацию определяется отношением общего числа заключенных договоров к числу страховых организаций:

Пример 3. По данным выборочного наблюдения имеется следующее распределение фермерских хозяйств области по размерам посевных площадей.

№ группы	Хозяйства по размерам посевных площадей, га	Число хозяйств f	Середина интервала х	xf
1	до 40	20	35	700
2	470-50	40	45	1800
3	50-60	25	55	1375
4	60-70	10	65	650
5	свыше 70	5	75	375
	Итого	100		4900

Определите средний размер посевных площадей на одно фермерское хозяйство.

Решение. Для расчета средней из интервального ряда необходимо варианты выразить одним (дискретным) числом. Для закрытых интервалов (2-4) за дискретное число принимается средняя арифметическая простая из верхнего и нижнего значения интервала. Для определения варианты в группах с открытыми интервалами (группы 1 и 5) предполагается, что для первой группы величина интервала равна интервалу второй группы, а в последней группе - интервалу предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен примеру 2:

4900 / 100 = 49 га.

Наряду со средней арифметической применяется средняя гармоническая, которая вычисляется из обратных значений усредняемого признака и по форме может быть простой и взвешенной.

Пример 4. Автомобиль ехал из пункта А в пункт Б со скоростью 90 км/ч, а обратно - со скоростью 110 км/ч. Для определения средней скорости применим формулу средней гармонической простой, так как в примере дано расстояние w₁=w₂ (расстояние из пункта А в пункт Б такое, же как и из Б в А), которое равно произведению скорости (X) на время (f). Средняя скорость = (1+1)/(1/90+1/110) = 99 км/ч.

Пример 5. Доходы банков в отчетном году характеризуются следующими показателями:

№ банка	Средняя процентная ставка х	Доход банка, тыс. сом М = xf	Сумма кредита M/x
1	12	600	5000
2	20	350	1750

Определите среднюю процентную ставку банков.

Решение. Основной выбор формы средней является реальное содержание определяемого показателя:

Ставка, % = (доход банка / сумма кредита) * 100

Средняя процентная ставка равна отношению доходов банков к сумме их кредита. В данном примере отсутствуют прямые данные о кредитах. Но их суммы можно определить косвенным путем, разделив доход банка (М) на процентную ставку (х).

Средняя будет равна

или 14%.

Приведенная формула называется средней гармонической взвешенной, где веса представляют собой произведения процентной ставки (х) на сумму кредита (f): М = xf.

Пример 5. По следующим данным о распределении 100 рабочих одного предприятия по величине заработной платы необходимо определить среднюю заработную плату, приходящуюся на одного рабочего.

Группы рабочих по размеру заработной платы, сом	Число рабочих, чел.	Середина интервала, х	х-А (А=10900)
10400-10600 10600-10800 10800-11000 11000-11200 11200-11400	10 15 45 20 10	10500 10700 10900 11100 11300	-400 -200 0 200 400	-2 -1 0 1 2	-20 -15 0 20 20
Итого	100	-	-	-	5

Решение:

Для упрощения расчетов для расчета средней заработной платы на предприятии используем формулу средней арифметической способом отсчета от условного нуля.

В качестве А можно взять любое произвольное число, но для упрощения расчетов целесообразнее взять значение в пределах варьирующего признака в данной совокупности, т.е. взять любое значение варианты.

Возьмем для примера в качестве произвольного числа А = 10900

= сом.

Пример 5. Имеются данные о распределении работников предприятия по уровню среднемесячной заработной платы:

№ группы	Заработная плата, сом	Число работников, чел.	Сумма накопленных частот
1	8000-10000	10	10
2	10000-12000	30	40
3	12000-14000	70	110
4	14000-16000	60	170
5	16000-20000	25	195
6	Свыше 20000	5	200

Определите модальный размер заработной платы.

Решение. Первоначально по наибольшей частоте признака определим модальный интервал. Наибольшее число работников - 70 человек - имеют заработную плату в интервале 12000 - 14000 сом, который является модальным.

= 12000 + 2000 *

Пример 6. По данным примера 6 рассчитать медиану.

Решение. Определим медианный интервал, в котором находится порядковый номер медианы. Для этого подсчитает сумма накопленных частот. Медианному интервалу будет соответствовать сумма накопленных частот, которая равна полусумме всех часто или будет превышать эту величину. (200/2=100).

В графе «Сумма накопленных частот» значение 110 соответствует интервалу 12000 - 14000. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана.

Ме = 12000+2000*

Из расчета видно, что половина работников предприятия имеют заработную плату до 13714,3 сома, а половина - свыше этой суммы.