Пример 4

Условие задачи. Дана механическая система, состоящая из тел 1, 2, 3, 4 (рисунок 7). Тела 2 и 3 находятся в зацеплении. Масса тел: m₁ = 20 кг, m₄ = 10 кг, моменты инерции тел I₂ = 0,05 кг ∙ м², I₃ = 0,2 кг ∙ м², I₄ = 0,1 кг ∙ м². Углы  = 60,  = 45. Коэффициент трения скольжения f = 0,2. Радиусы колес r₂ = 0,1 м, R₂ = 0,2 м, r₃ = 0,15 м, R₃ = 0,3 м, r₄ = 0,2 м. Коэффициент трения качения k = 5 мм = 0,005 м.

Определить: 1 линейное ускорение тела 1, т.е. a₁;

2. угловое ускорение тел 2, 3, 4: ₂, ₃, ₄.

Рисунок 7 – Схема механизма

Решение

Решение задачи выполняем с использованием принципа Даламбера – Лагранжа.

Выделим систему тел 1, 2, 3, 4, соединенных нитью, и изобразим их.

Вместо отброшенных связей изобразим силы реакции. Предварительно изобразим оси x и x вдоль наклонных поверхностей. Положительное направление осей – в сторону движения. Сила нормальной реакции . Сила трения F_тр – навстречу движению. Силы реакции R₀₂ и R₀₃ взамен отброшенных шарнирных неподвижных опор прикладываем в точках O₂ и O₃ и направляем их произвольно, т.к. направление их неизвестно. Нормальную реакцию N₄ прикладываем со смещением на величину плеча трения качения k в ту сторону, чтобы сила препятствовала качению тела 4.

На следующем этапе работы прикладываем силы тяжести , , , в центрах тяжести соответствующих тел, отмечаем углы  и , которые векторы и образуют с выбранными координатами осями.

Рисунок 8 – Схема для решения задачи

Чтобы воспользоваться принципом Даламбера, изобразим все инерционные факторы: силы инерции и моменты инерционные. Используя направление a₁, изобразим угловые ускорения ₂, ₃, ₄ и ускорение центра тяжести четвертого тела: a_с. (Вектор изображен в стороне от точки C как и некоторые другие кинематические характеристики из-за «тесноты» на рисунке 8).

Первое тело: сила инерции F_u1= – m₁∙a₁. Направляем силу инерции навстречу a₁. Второе тело. M_u2 = – I₂ ∙ ₂. Момент M_u2 направляем на рисунке навстречу ₂.

Так же поступаем с остальными инерционными нагрузками.

Mu3 = – I3 ∙ 3;	(34)
Mu4 = – I4 ∙ 4;	(35)
Fu4 = – m4 ∙ aс.	(36)

Теперь, согласно принципу Даламбера, после того, как изображены все реальные силы и инерционные силовые факторы (силы и моменты) система сил, изображенная на рисунке 8, условно является уравновешенной. А, значит, для неё можно записывать любые уравнения равновесия.

Разъяснения. Условность состоит в том, что на самом деле система движется, и все тела движутся с ускорениями. Но если вместе с реальными силами изображены (учтены) инерционные силы и моменты, то согласно принципу Даламбера, для такой системы могут быть записаны любые уравнения равновесия.

Однако мы не воспользуемся этим «разрешением», а используем принцип Лагранжа, который состоит в том, что системе, находящейся в равновесии, т.е. неподвижной, дадим малое перемещение (возможное, виртуальное). Все силы и моменты пар сил совершат работу на соответствующих (своих) перемещениях. Сумма этих работ равна нулю, т.к. система находится в равновесии, пусть даже и условном.

Условно неподвижной системе даем малое возможное (виртуальное) перемещение. Тело 1 переместится на величину S₁, тело 2 – повернется на угол ₂, тело 3 – на угол ₃, тело 4, скатываясь, повернется на угол ₄, а центр C переместится на S_с. С использованием зависимостей кинематики установим соответствие между всеми возможными перемещениями.

;	(37)
;	(38)
;	(39)
.	(40)

Связь между ускорениями тел записывается аналогично. Следующие формулы могут быть получены из предыдущих заменой характеристик перемещения , S на ускорения , а, сохраняя прежние индексы.

;	(41)
;	(42)
;	(43)
.	(44)

Запишем общее уравнение динамики .

Слагаемые суммы, записанной в левой части этого уравнения, могут быть вычислены по следующим формулам:

	(45)
;	(46)
;	(47)
;	(48)
;	(49)
;	(50)
А (G2) = А (G3) = 0;	(51)
А (Мu3) = – Mu3 ∙ 3;	(52)
А (Мu4) = – Mu4 ∙ 4;	(53)
;	(54)
;	(55)
.	(56)

Все перемещения выразим через одно, любое из них. Выразим все перемещения через S₁ с использованием выражений (38).

Решение обычно ведут в общем виде, сохраняя символьное (буквенное) обозначение параметров до получения искомой величины. Это позволяет анализировать полученный результат: определять влияние изменения исходных данных на получаемый результат. Однако в данном примере, чтобы избежать громоздких выражений, будем производить вычисления уже на следующей стадии работы.

.

Точно так же все ускорения выразим через одно, но не любое, а искомое ускорение a₁, и выполним возможные вычисления.

;

;

;

.

Принимаем для упрощения расчетов и вычисляем элементарную работу

Общее уравнение динамики, записанное ранее в общем виде , теперь, с учетом выполненных преобразований, можно записать так:

173 ∙ S₁ – 20 ∙ S₁ – 20 ∙ a₁ ∙ S₁ – 1,25 ∙ a₁ ∙ S₁ –0,558∙ a₁ ∙ S₁ –

– 0,039 ∙ a₁ ∙ S₁ – 0,221 ∙ S₁ + 8,84 ∙ S₁ – 0,156 ∙ a₁ ∙ S₁ = 0

Разделим левую и правую части этого выражения на S₁.

Полученное выражение преобразуем, сгруппировав в левой части слагаемые, содержащие a₁:

20 a₁ + 1,25 ∙ a₁ + 0,558 ∙ a₁ + 0,039 ∙ a₁ +0,156∙a₁ = 173 – 20 – 0,221 + 8,84

Отсюда

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лачуга Ю.Ф., Ксендзов В.А. Теоретическая механика / Ю.Ф.Лачуга, В.А. Ксендзов– 2-е изд., перераб. и доп., ил. – М.: изд-во «Лань», 2005. – 35 с.

2. Сборник задач для курсовых работ по теоретической механике / под ред. А.А.Яблонского. – М.: Высшая школа, 1985. – 367 с.

3. Лапшин П.Н., Манило И.И. Стандарт предприятия. Учебно-методическая документация. Общие требования к оформлению. СТП КГСХА 01-2006. / П.Н. Лапшин, И.И. Манило. – Курган.: изд-во КГСХА, 2006. – 35с.

Родионов С.С., Родионова С.И., Корнеев Л.А., Королев А.Е. Теоретическая механика. Методические указания и контрольные задания по разделу «Динамика». – Курган.: Изд-во КГСХА, 2011. - 33 с.