Пример 3

Условие задачи. Для примера рассмотрим вариант 0, рисунок 10. Заданные параметры: наружный диаметр первого тела D₁ = 0,38 м, внутренний диаметр первого тела d₁ = 0,3 м, размер вдоль оси вращения H₁ = 0,08 м, размер стержня с квадратным поперечным сечением а = 0,04 м, диаметр рукоятки D₃ = 0,05 м, длина рукоятки H₃ = 0,2 м, плотность материала всех деталей , масса груза m_г = 80 кг.

Рисунок 4 – Схема варианта

Решение

Решение задачи приведем без численных вычислений для того, чтобы не загромождать алгоритм решения. Изобразим две чертежных проекции тела, представленного на рисунке 4, и нанесем все необходимые размеры (рисунок 5).

Для определения момента инерции тела 1 относительно оси вращения I_1O выполним некоторые предварительные вычисления.

Объем сплошного цилиндра с наружным диаметром D₁ и длиной H₁ определим по формуле:

.

(19)

Тогда его масса

.

(20)

Точно так же объем внутреннего цилиндра с размерами d₁, H₁ определим по формуле:

(21)

Масса его .

Рисунок 5 – Геометрические характеристики барабана

Момент инерции тела 1, образованного «вычитанием» из сплошного цилиндра с размерами D₁, Н₁ сплошного цилиндра с размерами d₁, H₁, вычислим по формуле:

,

(22)

где I_HO – момент инерции сплошного цилиндра с размерами D₁, Н₁, кгм²;

I_BO – то же с размерами d₁, H₁, кгм².

Вычислим значения I_HO и I_BO по формулам:

;	(23)
.	(24)

Момент инерции тела 2 относительно оси вращения О-О определим, используя длину стержня D₁, размеры поперечного квадратного сечения а×а, по известной формуле:

,

(25)

где m₂ – масса тела 2, кг;

- объем тела 2, м³.

Момент инерции тела 3 относительно оси О-О определяем с использованием теоремы Гюйгенса:

,

(26)

где I_3X – момент инерции стержня 3 относительно оси х-х параллельной оси О-О и проходящей через центр тяжести тела 3, точку С, кгм²;

m₃ – масса стержня 3 (вычисляется с использованием формул (1), (2)), кг;

d – расстояние между осями х и О, м.

Вычислим

.

(27)

Теперь момент инерции всего вращающегося тела, состоящего из тел 1, 2 и четырех стержней, вычислим по выражению:

.

(28)

Рисунок 6 – Расчетная схема

Система состоит из двух тел: груза, весом и составного барабана, весом G₁. Эти силы, а также силы реактивные R_oy и R_ox изобразим на расчетной схеме. Кроме того, запишем выражение для силы инерции груза

,

(29)

и для момента сил инерции барабана

.

(30)

Согласно принципу Даламбера, система двух тел находится в равновесии. Составим уравнение моментов всех сил, в том числе и инерционных, относительно точки О

.

(31)

Перепишем его с некоторыми подстановками

.

Отсюда

.

(32)

Вычислим угловое ускорение барабана

.

(33)

Задача 4. принцип даламбера- лагранжа

Три тела системы соединены нитями. Во всех вариантах движение начинается из состояния покоя в направлении, соответствующем вращению тела 2 против часовой стрелки. Коэффициент трения скольжения f = 0. Плечо трения качения принять также равным нулю. Однако считать, что качение происходит без проскальзывания.

Тело 3 считать однородным цилиндром (для подсчета момента инерции I₃). Исходные числовые данные приведены в таблице 8.

Таблица 7 – Варианты расчетных схем (номер варианта соответствует предпоследней цифре шифра)

Продолжение таблицы 7

Таблица 8 – Исходные данные для задачи 4

Предпоследняя цифра шифра	Масса тела 1, m1, кг	Момент инерции тела 2, I2, кг ∙ м2	Масса тела 3, m3, кг	Размеры второго тела		Размеры третьего тела		Угол наклона плоскости, , º (град)
				R2, м	r2, м	R3, м	r3, м
0	60	1,5	20	0,2	0,15	0,25	0,22	30
1	80	1,8	40	0,25	0,22	0,3	0,25	35
2	75	1,4	30	0,3	0,25	0,25	0,15	25
3	85	1,3	35	0,24	0,2	0,3	0,2	20
4	65	1,2	25	0,22	0,16	0,26	0,18	40
5	70	1,4	25	0,25	0,15	0,2	0,15	45
6	90	1,3	35	0,3	0,2	0,22	0,16	20
7	85	1,1	30	0,3	0,24	0,24	0,2	35
8	95	1,4	30	0,26	0,18	0,2	0,16	30
9	65	1,1	20	0,2	0,15	0,28	0,2	40