Задание №5. Решение системы линейных уравнений. Вариант 5

Постановка задачи

Найти решение системы линейных уравнений методом «Обратной матрицы»

Дана система линейных уравнений: Исходные данные в виде матрицы:

0	2	-1	0	0
0	2	1	-1	1
1	1	2	1	13
1	2	1	-1	6

2 Х₂ – Х₃ = 0

2Х₂ + Х₃ – Х₄ = 1

Х₁ + Х₂ + 2Х₃ + Х₄ = 13

Х₁ + 2Х₂ + Х₃ – Х₄ = 6

Примечание: Последний столбец, выделенный заливкой – правые части уравнений.

Решение

Порядок решения задачи:

• Сформировать матрицу коэффициентов при неизвестных (размерность 4х4) и матрицу правых частей (размерность 4х1). Отсутствующие коэффициенты при неизвестных равны нулю.

• При помощи функции МОБР вычисляется матрица, обратная матрице коэффициентов уравнений (размерность 4х4).

• При помощи функции МУМНОЖ выполняется умножение обратной матрицы на матрицу правых частей системы уравнений. Формула видна на рисунке в строке формул.

• Результат выполнения этой операции – матрица размерностью (4 х 1) является решением системы линейных уравнений.

• Обе эти функции завешаются нажатием клавиш Ctrl-Shift-Enter.

Рис. 5. Формулы для решения системы линейных уравнений

Результат решения

Диапазон элементов обратной матрицы можно не форматировать, поскольку эти значения являются промежуточными. При форматировании заголовков таблицы использовано форматирование «Переносить по словам». Для лучшего восприятия имена неизвестных отформатированы вправо, а значения – влево.

Рис. 6. Решение системы линейных уравнений

Задание №7. Решение нелинейного уравнения. Вариант 13.

Постановка задачи:

Найти все корни нелинейного уравнения вида:

0,3x³-4,9*x-3,46 = 0 с точностью 0,001.

Решение задачи:

Шаг 1 – Графическое решение уравнения (отделение корней) позволяет определить количество корней и выделить отрезки, на которых содержится по одному корню.

Для реализации этого следует: рассчитать таблицу значений функции F(x)=0,3x³-4,9*x-3,46, построить точечную диаграмму (причем диапазон изменения аргумента Х неизвестен) и найти все пересечения графика с осью Х. Каждый отрезок, на котором график функции пересекает ось Х, является базовым для дальнейшего уточнения значения корня. Алгоритм построения расчетной таблицы для произвольного диапазона изменения предложен на рисунке.

Рис. 7. Вычисление значений функции в произвольном диапазоне аргумента

В формулах для формирования значений аргумента используется «не табличная» переменная – значение шага (ячейка D3). Для возможности копирования формулы из ячейки А3 в остальные ячейки столбца, использован режим абсолютной адресации для этой ячейки. Самый простой способ установки абсолютной адресации клавиша F4.

Изменяя начальное и конечное значение аргумента Х, (диаграмма при этом перерисовывается автоматически) добиваемся получения диаграммы, на которой хорошо видны все корни уравнения (рисунок 8).

Рис. 8. Графическое решение уравнения 0,3x3-4,9*x-3,46=0

Шаг 2 – уточнение значений корней.

По графику и таблице видно, что функция имеет 3 корня в диапазонах:

(-4 : -3), (-1 : 0), (4 : 5).

Для уточнения корней следует:

• подготовить рабочую область в соответствии с количеством корней (рисунок 9);

• для каждого корня установить начальное значение Х (левая граница отрезка, содержащего корень);

• использовать средство «Подбор параметра» для уточнения значения корня (рисунок 10).

Рис. 9. Рабочая область для уточнения корней с начальными значениями аргумента

Рис. 10. Использование «Подбора параметра» для уточнения первого корня

Остальные корни уточняются таким же способом.

Результат решения

Найденное решение является приближенным. Результаты решения (столбец А) и значения функций в этих точках (столбец В) отформатированы до трех знаков после запятой в соответствии с точностью, заданной в условии задачи.

Рис. 11. Результаты решения