Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?

Рассмотрим уравнение , или, то же самое: . Здесь «эн» может принимать любое натуральное значение, которое больше единицы. В частности, при  получается квадратный корень

Уравнение вида  имеет ровно  корней , которые можно найти по формуле: , где  – это модуль комплексного числа ,  – его аргумент, а параметр  принимает значения:

Пример 15

Найти корни уравнения

Перепишем уравнение в виде

В данном примере ,   , поэтому уравнение будет иметь два корня:  и . Общую формулу можно сразу немножко детализировать: ,

Теперь нужно найти модуль и аргумент комплексного числа : Число  располагается в первой четверти, поэтому: Напоминаю, что при нахождении тригонометрической формы комплексного числа всегда желательно сделать чертеж.

Еще более детализируем формулу: ,

Очень часто полученные корни требуется изобразить геометрически:

Как выполнить чертеж?

Сначала на калькуляторе находим, чему равен модуль корней   и чертим циркулем окружность данного радиуса. Все корни будут располагаться на данной окружности.

Теперь берем аргумент первого корня  и выясняем, чему равняется угол в градусах: . Отмеряем транспортиром  и ставим на чертеже точку .

Берем аргумент второго корня  и переводим его в градусы: . Отмеряем транспортиром  и ставим на чертеже точку .

По такому же алгоритму строится точка

Легко заметить, что корни расположены геометрически правильно с интервалом между радиус-векторами. Чертеж крайне желательно выполнять с помощью транспортира. Если вы отмерите углы «на глазок», то рецензент легко это заметит и процентов 90-95 поставит минус за чертеж.

Задание. Сделать по аналогии 15 примеров

3.2. Операции с числами

3.2.1. Ввод действительных чисел

Ввод чисел с клавиатуры осуществляется по общим правилам, принятым для языков программирования высокого уровня:

– для отделения дробной части мантиссы числа используется десятичная

точка (вместо запятой при обычной записи);

– десятичный показатель числа записывается в виде целого числа после предшествующей записи символа "е";

– между записью мантиссы числа и символом "е" (который отделяет мантиссу от показателя) не должно быть никаких символов, включая и символ пропуска.

Если, например, ввести в командном окне MatLAB строку 1. 20357891е -17, то после нажатия клавиши <Enter> в этом окне появится запись (рис.1.1):

Рис. 3.1. Командное окно

Следует отметить, что результат выводится в виде (формате), который определяется предварительно установленным форматом представления чисел.

Этот формат может быть установлен с помощью команды Preferences меню File (рис.1.2).

Рис. 3.2. Окно с командой Preferences

После ее вызова на экране появится одноименное окно (рис. 1.3).

Один из участков этого окна имеет название Numeric Format. Он предназначен для установки и изменения формата представления чисел, которые выводятся в командное окно в процессе расчетов. Предусмотрены такие форматы:

Short (default) – краткая запись (применяется по умолчанию);

Long – длинная запись;

Hex – запись в виде шестнадцатеричного числа;

Bank – запись до сотых долей;

Plus – записывается только знак числа;

Short E – краткая запись в формате с плавающей запятой;

Long E – длинная запись в формате с плавающей запятой;

Short G – вторая форма краткой записи в формате с плавающей запятой;

Long G – вторая форма длинной записи в формате с плавающей запятой;

Rational – запись в виде рациональной дроби.

Рис. 3.3. Окно с названием форматов (numeric format)

Избирая с помощью мыши нужный вид представления чисел, можно обеспечить в дальнейшем выведение чисел в командное окно именно в этой форме.

Как видно из рис. 1.1, число, которое выведено на экран, не совпадает с введенным. Это обусловлено тем, что установленный по умолчанию формат представления чисел (Short) не позволяет вывести больше 6 значащих цифр. На самом деле введенное число сохраняется внутри MatLAB со всеми введенными его цифрами. Например, если избрать мышью селекторную кнопку Long E (т. е. установить указанный формат представления чисел), то, повторяя те же действия, получим:

где уже все цифры отображены, верно (рис. 1.4).

Рис. 3.4. Результат с форматом Long E

Следует помнить:

– введенное число и результаты всех вычислений в системе MatLAB сохра- няются в памяти ПК с относительной погрешностью около 2.10-16 (т. е. с точными значениями в 15 десятичных разрядах);

– диапазон представления модуля действительных чисел лежит в диапазоне между 10⁻³⁰⁸ и 10⁺³⁰⁸ .