6. Двойственная задача
С каждой прямой задачей линейного программирования, представленной моделью (1.1) – (1.3), можно связать двойственную или сопряженную модель. В общем виде индексная запись такой двойственной задачи будет иметь вид:
;
(21.1)
;
(21.2)
.
(21.3)
З
апишем
исходную прямую задачу (3.1) – (3.5)
оптимального планирования продуктов
:
;
(22.1)
;
(22.2)
;
(22.3)
;
(22.4)
,
.
(22.5)
Д
войственная
модель по отношению к модели (3.1) – (3.5)
примет вид:
;
(23.1)
;
(23.2)
;
(23.3)
. (23.4)
7. Симплексный метод решения двойственной задачи
В
ведем
дополнительные переменные и перепишем
систему неравенств (23) в виде равенств:
; (24.1)
;
(24.2)
.
(24.3)
Примем:
,
тогда базовые переменные
,
.
Подобно прямой задачи составляем первую симплексную таблицу 1 решения задачи.
Таблица 4. Первый план решения двойственной задачи (первая симплекс-таблица)
bi |
Базис пер. |
План |
|
|
|
|
|
0 |
|
45 |
5 |
6 |
4,8 |
1 |
0 |
0 |
|
27 |
2 |
4 |
6 |
0 |
1 |
Индексная строка |
0 |
7200 |
9900 |
12600 |
0 |
0 |
|
В отличие от прямой задачи в индексную строку двойственной задачи вписываются коэффициенты функционала со знаком (+), а в качестве ключевого принимают столбец с минимальным ресурсом трех видов сырья ( ; ; ), т. е. столбец с ресурсом 7200. После чего построчно разделим элементы столбца свободных членов (столбец «План» в табл. 4) на соответствующие элементы ключевого столбца. Ключевая строка (табл.4) с наименьшим частным выделяется жирным шрифтом. Она указывает на то, переменная должна быть выведена из последующего плана, а вместо нее в новый план должна быть введена переменная ключевого столбца (переменная ).
Дальнейшая обработка таблиц производится таким же образом, как и в прямой задаче по формулам (16) и (17), в результате получаем таблицу 5.
Таблица 5. Второй план решения двойственной задачи (вторая симплекс-таблица)
bi |
Базис пер. |
План |
|
|
|
|
|
7200 |
|
9 |
1 |
1,2 |
0,96 |
0,2 |
0 |
0 |
|
9 |
0 |
1,6 |
4,08 |
-0,4 |
1 |
Индексная строка |
64800 |
0 |
1260 |
5688 |
-1440 |
0 |
|
Обработка таблицы 5 показывает, что в следующей таблице 6 вместо переменной должна быть введена переменная . Из таблицы 6 видно, что в исходной таблице 4 обе базисные переменные и заменены на переменные и . Процесс составления новых таблиц завершен. После заполнения полученными в результате расчетов данными таблицы 6 можно сформулировать следующие выводы.
Таблица 6. Третий план решения двойственной задачи (третья симплекс-таблица)
-
bi
Базис пер.
План
7200
2,25
1
0
-2,1
0,5
-0,75
9900
5,625
0
1
2,55
-0,25
0,625
Индексная строка
71887,5
0
0
2475
-1125
-787,5