4. Графический способ решения задачи

При построении графика (см. рис. 1) допустимого множества (ДМ) необходимо неравенства (3.2) – (3.4) записать для границ области допустимых решений. В этом случае эти неравенства превращаются в равенство.

Неравенство (3.2) запишется как:

(4.1)

из которого определяются точки пересечения (см. рис. 1) линии границы (4.1) с соответственно осью абсцисс ОХ₁ и осью ординат ОХ₂ :

(4.1.1)

(4.1.2)

Неравенство (3.3) примет вид линии границы (5.1) на рис. 5.1

(5.1)

Откуда:

(5.1.1)

(5.1.2)

Последнее неравенство (3.4) запишется в виде равенства:

(6.1)

из которого определяются точки пересечения линии границы (6.1) с осями абсцисс и ординат:

(6.1.1)

(6.1.2)

Рисунок 1. Область допустимых решений (ДМ), полученных из ограничений на ресурсы ((3.2) – (3.4)).

Таким образом, ДМ представляет собой многоугольник ОАВСD, внутри которого должно быть найдено решение, удовлетворяющее функции цели (3.1). Для нахождения этого решения рассмотрим линии уровня целевой функции F(X)

(7)

Важное свойство линий уровня функции F(X) состоит в том, что при параллельном смещении линии в одну сторону уровень возрастает, а при смещении в другую сторону – убывает.

Линия уровня нормальна к grad F(x), который представляет собой направление максимального роста функции цели F(X).

Предположим, что линия уровня (7) пересечет ось ОХ₁ (см. рис.1) в точке N(1000;0). Тогда (7) примет вид:

45*1000+27*0=К.

Откуда: К=45000.

В этом случае ось ординат ОХ₂ линия уровня пересечет во второй точке N, которая может быть найдена из выражения:

45*0+27*Х₂=45000.

Откуда: Х₂=1666,7

Осуществим параллельный перенос (см. рис.1) линии уровня NN до крайней вершины точки C многогранника области допустимых значений. Вершина «С» многогранника допустимого множества является точкой оптимального значения функции F(x). Эта вершина лежит на пересечении прямых (4.1) и (5.1), которые могут быть представлены системой уравнений:

(8.1)