1.2.5. Уравнение параболы с вершиной в начале координат

Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

(1.17)

называют параболой (с вертикальной осью симметрии).

Рис. 14. Рис. 15.

При А>0 ветви параболы направлены вверх (рис. 14), а при A<0 – вниз (рис. 15).

Парабола симметрична оси 0y, вершина – в начале координат.

Замечание. Уравнение

(1.18)

определяет параболу с осью симметрии 0x, вершина ее – в точке О(0,0).

При A>0 ветви направлены вправо (рис. 16), а при A<0 – влево (рис. 17).

Рис. 16. Рис. 17.

1.2.6. Парабола со смещенной вершиной

Уравнение

(1.19)

определяет параболу на плоскости x0y.

Заменив x-a=X, y-b=Y, будем иметь

Y=AX² (1.20)

– параболу, симметричную прямой x=a, с вершиной в точке O₁(a,b) (рис. 18).

Аналогично, уравнение

x-a=A(y-b)² (1.21)

определяет параболу с вершиной в точке O₁(a,b) и осью симметрии y=b (рис. 19). При A>0 ветви направлены вправо, при A<0 – влево.

Рис. 18. Рис. 19.

Замечание. Графиком всякой квадратной функции

Y = Ax²+ Bx + C (1.22)

является парабола. Чтобы построить ее график надо уравнение параболы привести к виду (19). Для этого нужно выделить полный квадрат суммы (разности).

Задача 3. Привести уравнение параболы y = -4x²+8x+4 к виду Y=AX². Найти координаты вершины, уравнение оси симметрии, построить график.

Решение. Выделим полный квадрат разности. Для этого вынесем за скобку (-4). y = -4(x² – 2x – 1) = -4((x² - 2x + 1²) - 1² -1) = -4(( x -1)² -2) = -4(x-1)² + 8. Получили y = -4(x - 1)² + 8, y - 8 = -4(x - 1)².

Обозначим x – 1 = X, y – 8 = Y. Получили Y = -4X² относительно системы координат X0₁Y. X-1=0 – ось симметрии, A<0 – ветви параболы направлены вниз. Найдем точку пересечения параболы с осью 0y. При x=0 y=-4·0² + 8·0+4.

Т очка (0,4).

Рис. 20.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти точки пересечения прямой 3x-5y-15=0 с осями координат и построить прямую.

2. Построить: x=-3, y=2, y=-3x.

3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2,5) и образующей с осью 0х угол: а) ά=45^о б) ά=60^о, в) ά=135^о, г) ά=120^о.

4. Найти угловые коэффициенты прямых:

а) y=-4x+5, б) 3x-4y+7=0, в) 6x+9y-1=0, г) 5x+2y=0, д) y-2=0.

5. Даны прямые : x+y-4=0 (1), 6x+8y-11=0 (2), 2x-2y+3=0 (3), 4x-3y+7=0 (4), 9x+9y+5=0 (5), x-y-2=0 (6). Указать, какие из них между собой параллельны, а какие – перпендикулярны.

6. Дана прямая 4x+5y-2=0 и точка M₁(-3,2). Составить уравнение прямой, проходящей через М₁: а) параллельно данной, б) перпендикулярно данной прямой.

7. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3x+2y+7=0 и 4x+3y+9=0 параллельно прямой y=-2x+3.

8. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-1,4):

а) параллельно прямой 2x+3y-5=0, б) перпендикулярно прямой 8x-2y+3=0,

в) параллельно оси 0х, г) параллельно оси 0у.

9. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(-1,3), В(4,-2).

10. Даны точки А(-1,6), В(9,-8). Через середину отрезка АВ провести (составить уравнение) прямую, параллельную 4x-3y+5=0.

11. Даны вершины ΔАВС: А(-1,3), В(4,-2), С(0,-5).

Составить уравнения: а) стороны АВ, б) медианы СМ и высоты СН.

12. Написать уравнение окружности с центром в точке С(2,-3) и радиусом, равным 2.

13. Составить уравнение окружности с центром в точке С(-5, 1) и проходящей через А(2,3). Построить.

14. Составить уравнение окружности с диаметром АВ, где А(1,-1), В(5,2). Построить.

15. Составить уравнение эллипса, если большая ось равна 20, малая ось – 16. Построить.

16. Привести уравнение гиперболы к виду . Построить.

17. Привести уравнение параболы y=-2x²+8x-4 к виду Y=AX². Построить.