0. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении имеет вид:

(1.4)

где (x₁,y₁) – координаты данной точки М₁,

k – угловой коэффициент прямой.

Рис. 4.

Пучком прямых называется совокупность прямых плоскости, проходящих через одну и ту же точку M₁(x₁,y₁) – центр пучка.

Уравнение (4) можно рассматривать как уравнение пучка прямых.

Задача 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М₁(-3,4) и наклоненной к оси Ох под углом 135^о.

Решение. Воспользуемся уравнением пучка прямых .Здесь x₁ = -3, y₁ = 4, k = tg135^o = -1. Значит y-4=-1(x+3), y-4+x+3=0, x+y-1=0.

0. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки M₁(x₁,y₁), M₂(x₂,y₂) имеет вид:

(1.5)

Если точки М₁ и М₂ определяют прямую, параллельную оси Ох (т.е. ) или оси Оу (т.е. ), то уравнение прямой записывается в виде или .

Задача 4. Составить уравнение прямой, проходящей через:

1) М₁(-3, 5) и М₂(7, -2); 2) М₁(3, -4) и М₂(3, 6).

Решение. 1) Воспользуемся уравнением (5).

x₁ = -3, y₁ = 5, x₂ = 7, y₂ = -2,

2) прямая, параллельная Оу.

Задача 5. Составить уравнение прямой, проходящей через т. М₁(-2,8) и середину отрезка АВ, где А(6, -5), В(-2,1).

Решение. Найдем координаты середины отрезка по формулам:

,

Запишем уравнение прямой М₁М₂ по (5).

0. Угол между двумя прямыми.

Условие параллельности и перпендикулярности прямых

Углом между прямыми L₁ и L₂ называется угол, на который нужно повернуть против хода часовой стрелки прямую L₁ до совмещения с L₂ или чтобы они были параллельны.

Уравнение L₁: y=k₁ x+b₁, k₁=tgα₁ .

Уравнение L₂: y=k₂ x+b₂, k₂=tgα₂ .

Рис. 5.

- тангенс угла между прямыми. (1.6)

Рис. 6.

Если прямые параллельны, то α₂ = α₁, следовательно, tgα₂= tgα₁ ,

k₂=k₁ – условие параллельности прямых. (1.7)

Если прямые перпендикулярны, то но не существует, значит

1 + k₁k₂ = 0, отсюда

условие перпендикулярности прямых (1.8)

.

Задача 6. Найти угол между прямыми 2x-3y+4=0 и 5x+2y-1=0.

Решение. Найдем угловые коэффициенты прямых:

По формуле (6)

Задача 7. Даны вершины ΔАВС: А(-5,6), B(2,3), C(-3,2). Найти:

1. длину стороны ВС;

2. уравнение стороны ВС;

3. уравнение высоты АН;

4. уравнение медианы ВМ;

5. уравнение прямой, проходящей через вершину А, параллельно стороне ВС;

6. точку F пересечения медианы ВМ и высоты АН;

7. сделать чертеж.

Решение.

1) Найдем длину ВС по формуле расстояния между двумя точками:

Рис. 7.

2) Составим уравнение стороны ВС:

уравнение ВС;

3) Так как высота , то но значит .

Уравнение высоты АН составим, пользуясь пучком прямых, проходящих через А(-5,6).

y-y_A = k(x-x_A), y-6=-5(x-(-5)), y-6=-5x-25,

5x+y+19=0 – уравнение высоты АН.

4. Найдем координаты точки М по формулам:

M(-4,4).

Напишем уравнение медианы ВМ по формуле

-6(y-3)=x-2, -6y+18=x-2,

x+6y-20=0 – уравнение ВМ.

5) Прямая l параллельна ВС, следовательно, (см. п.2). Тогда

уравнение прямой l.

6. Найдем точку F пересечения прямых ВМ и АН.