4. Практическая работа № 3

Тема: «Первый закон термодинамики. Понятие энтальпии и энтропии.

Процессы изменения состояния газов»

4.1. Теоретические основы

Первый закон термодинамики является частным случаем закона сохранения и превращения энергии применительно к тепловым явлениям, протекающим в термодинамических системах.

Закон сохранения и превращения энергии. В изолированной системе сумма всех видов энергии является величиной постоянной. Уменьшение какого-либо вида энергии в одной системе, состоящей из одного или множества тел, должно сопровождаться увеличением энергии в другой системе тел.

Существует прямая пропорциональность между затраченной теплотой Q и полученной работой L :

Q = AL (4.1)

где А – постоянная величина, называемая тепловым эквивалентом работы.

Внутренняя энергия является функцией состояния и состоит из внутренней постоянной энергии:

U = U_П – U_К (4.2)

где U_П – потенциальная энергия; U_К – кинетическая энергия.

Потенциальная энергия является функцией объема и давления и зависит от межмолекулярных взаимодействий: U_П = f (V,p).

Кинетическая энергия зависит от температуры: U_К = f(T).

При рассмотрении идеальных газов потенциальной энергией можно пренебречь, т.е. U_П = U_К. Тогда первый закон термодинамики может быть записан следующим образом:

U₂ – U₁ = Q – L (4.3)

где U₂ – U₁ = U – изменение внутренней энергии. Отсюда:

Q = U + L (4.4)

Для 1 кг вещества: q = u + l (4.5)

Работа, совершаемая 1 кг газа в равновесном процессе, будет равна:

l = p (₂ – ₁) = p (4.6)

Энтальпия. Физический смысл энтальпии заключается в том, что она равна энергии расширенной системы – тела и окружающей среды.

E = U + p V = I (4.7)

Энтальпия, отнесенная к единице массы, называется удельной энтальпией:

i = u + p (4.8)

В термодинамических расчетах рассматривается изменение энтальпии:

i = i₂ – i₁ = (u₂ + p₂₂) – (u₁ + p₁₁) (4.9)

Энтропия является функцией состояния газа и равна отношению количества подводимой теплоты к абсолютной температуре:

dS = dQ / T , Дж / К (4.10)

Энтропия, отнесенная к единице массы газа, называется удельной энтропией:

ds = dq / T , Дж / кг К (4.11)

В термодинамических расчетах используется изменение энтропии от начального до конечного состояния.

Процесс увеличения энтропии (ds > 0) означает подвод теплоты к телу и количество теплоты имеет положительный знак. Процесс уменьшения энтропии (ds< 0) соответствует отводу теплоты от тела, и количество теплоты будет иметь отрицательный знак.

Для идеального газа при с_v=const изменение энтропии будет равно:

∆s = s₂ – s₁ = c_v ln T₂/T₁ + R ln v₂/v₁ (4.12)

при с_р.=const:

∆s = s₂ – s₁ = c_p ln T₂/T₁ + R ln p₂/p₁ (4.13)

Для конечного процесса, в котором энтропия изменяется от s₁ до s₂ , общее выражение количества теплоты принимает вид:

(4.14)

1. Изохорный процесс (= const). Примером изохорного процесса может служить нагревание или охлаждение газа в закрытом сосуде. Кривая процесса называется изохорой.

Зависимость между параметрами р и Т в изохорном процессе идеального газа получаем из уравнения Клайперона (2.14)

р / Т = const

или р₁₁/ Т₁ = р₂₂ / Т₂ .

Учитывая, что в изохорном процессе ₁ = ₂ можно получить уравнение состояния для изохорного процесса:

р₁ / Т₁ = р₂ /Т₂ или р₂ / р₁ = Т₂ / Т₁ (4.15)

Эта зависимость носит название закона Шарля.

Учитывая, что в изохорном процессе d = 0 и работа l_ = 0, выражение первого закона термодинамики для изохорного процесса примет вид:

q_ = u = c_ (t₂ – t₁) при с_ = const (4.16)

Изменение энтропии в изохорном процессе будет равно:

s = c_ ln (T₂ / T₁) = c_ ln (р₂ / р₁) (4.17)

2. Изобарный процесс (р = const). Примером изобарного процесса может быть нагревание газа в цилиндре с подвижным поршнем. Кривая, описывающая данный процесс называется изобарой.

Уравнение состояния для изобарного процесса:

₁ / Т₁ = ₂ / Т₂ или ₂ / ₁ = Т₂ / Т₁ (4.18)

Полученное уравнение называется законом Гей-Люссака.

Работа, произведенная газом при нагревании, может быть записана в виде:

l_p = p (₂ – ₁) (4.19)

Подставив (4.19) в уравнение первого закона термодинамики (4.5) получим:

q = u + l

q_p = (u₂ +p₁₂) – (u₁ + p₁₁) , (4.20)

т.к. u + p = i, то уравнение (3.28) может быть представлено в виде:

q_p = i₂ – i₁ = i (4.21)

С ростом температуры возрастает и энтропия газа по зависимости:

s = c_p ln (T₂ / T₁) = c_p ln (₂ / ₁) (4.22)

3.Изотермический процесс (Т = const). Уравнение изотермного процесса также можно получить из уравнения Клайперона, учитывая, что Т₁=Т₂:

р₁₁ = р₂₂ или р = const , (4.23)

что является выражением закона Бойля-Мариотта. Кривая, описывающая данный процесс называется изотермой.

Количество подведенной или отведенной теплоты в изотермическом процессе находят по зависимости:

q_T = Ts_T = RT ln(₂ / ₁) = RT ln(p₁ / p₂) (4.24)

Работу расширения газа можно определить по формуле:

₂

l_T =  pd = RT ln(₂ / ₁) (4.25)

₁

При изотермическом расширении или сжатии вся подводимая или отводимая теплота затрачивается только на работу газа.

4. Адиабатный процесс – это процесс, при котором рабочее тело не обменивается теплотой с окружающей его средой (q = 0; dq = 0).

Уравнение адиабатного процесса в р –  координатах может быть получено, если использовать выражение первого закона термодинамики и учесть отдельные особенности идеального газа:

du = c_dT и di = c_pdT (4.26)

тогда dq = c_dT + pd = 0, или c_dT = – pd;

dq = c_pdT – dp = 0, или с_pdT = dp,

откуда c_p/c_ = k = dp / (– pd), или kpd + dp = 0.

Уравнение адиабатного процесса

p ^k = const, (4.27)

г де k – показатель адиабаты.

1

Рис.4.4. График адиабатного процесса

а) в p-координатах; б) в Ts -координатах

Связь между параметрами в адиабатном процессе можно получить из уравнения адиабаты (4.27).

Зависимость между р и : р₂ /р₁ = (₁/₂)^k ; (4.28)

между Т и : Т₂ / Т₁ = (₁ / ₂)^k-1 ; (4.29)

между р и Т: Т₂ / Т₁ = (р₂ / р₁) ^{k / (k-1)} (4.30)

Изменение внутренней энергии определяется по общему выражению

u = c_(t₂ – t₁). (4.31)

Работа расширения газа в адиабатном процессе численно равна

l_q = –  u (4.32)

или l_q = (RT₁/(k-1)) (1 – (p₂/p₁) ^{(k-1) / k}) (4.33)

т.е. в адиабатном процессе работа совершается за счет убыли внутренней энергии.

Изменение энтальпии определяется из уравнения:

i = c_p(t₂ – t₁) (4.34)

Изменение энтропии в адиабатном процессе равно нулю, поэтому адиабатный процесс называют изоэнтропийным (s = const).

5. Политропный процесс. Любой произвольный процесс изменения состояния рабочего тела, происходящий при постоянной теплоемкости, называется политропным (х = n).

Уравнение политропного процесса выводится на основании первого закона термодинамики:

рⁿ = const (4.35)

где n – показатель политропы.

Рис.4.5. Совместный график частных случаев политропного процесса:

^{________ _} - процессы с подводом теплоты; ^{_ _ _ _} - процессы с отводом теплоты;

– процессы без теплообмена;

а) в p-координатах; б) в Ts -координатах

Путем варьирования показателя политропы можно получить уравнение для любого ранее рассмотренного процесса:

- при n = 0; р⁰ = р = const – изобарный процесс;

- при n = 1; p = const – изотермный процесс;

- при n = k; p^k = const – адиабатный процесс;

- при n   p^ = const = p^1/ = p⁰ =  = const – изохорный.

Связь между параметрами р,  и Т и выражения для работы в политропном процессе аналогичны таковым в адиабатном процессе, так как уравнение политропного процесса совпадает по форме с уравнением адиабатного процесса, в котором показатель k заменен показателем n.

Количество теплоты в процессе может быть вычислено по первому закону термодинамики:

q_n = c_n(t₂ – t₁) (4.36)

где – теплоемкость в политропном процессе.

Показатель политропы может быть определен, если известны значения р и  в двух точках процесса:

(4.37)

Изменение энтропии в политропном процессе будет равно:

ds = dq/T = c_ndT / T или s = c_nm ln (T₂/T₁) (4.38)

Могут быть определены три группы политропных процессов.

I группа процессов характеризуется тем, что изменение внутренней энергии составляет часть подводимой в процессе теплоты, другая часть которой расходуется на работу.

II группа процессов характеризуется тем, что работа совершается за счет подводимой теплоты ( q > 0) и за счет уменьшения внутренней энергии (u < 0).

III группа процессов характеризуется тем, что отводимая теплота (q < 0) и работа совершается за счет уменьшения внутренней энергии (u < 0); теплоемкость в данном случае положительна (с_n > 0), так как знаки теплоты и изменения температуры одинаковы.