1.7.4. Пересечение тел вращения плоскостью

В сечении тела вращения плоскостью получается плоская кривая линия. Обычно ее строят по отдельным точкам, которые затем соединяют между собой плавной кривой по лекалу.

Точки, по которым строится кривая, разделяются на характерные (их еще называют особыми, опорными) и промежуточные (случайные, неособые).

К характерным относятся: крайние (самая верхняя и самая низкая, правая и левая, дальняя и ближняя), точки границы видимости – отделяющие видимую часть кривой от невидимой; точки, лежащие на контурах пересекающихся тел; концы осей эллипса и вершин параболы и гиперболы. Когда характерные точки отстоят далеко друг от друга, то для более точного выявления хода кривой строят промежуточные точки, которые выбираются произвольно

Следует указать, что весьма часто заранее известен вид кривой, получающейся в сечении. Так, сфера пересекается плоскостью по окружности. В зависимости от положения секущей плоскости эта окружность может проецироваться в натуральную величину в виде эллипса и отрезка прямой. Рис. 85

Цилиндр вращения пересекается плоскостью по окружности, если плоскость перпендикулярна оси; по двумя образующим, если плоскость параллельна оси; по эллипсу — во всех остальных случаях (рис. 85).

Сечение, перпендикулярное оси тела, называется перпендикулярным или нормальным сечением тела. (Это относится к различного вида цилиндрам и призмам).

В сечении конуса вращения получаются все виды кривых второго порядка (см. далее «Конические сечения»).

Пересечение цилиндра проецирующей плоскостью

Задача. Построить нормальное сечение цилиндра плоскостью, проходящей через т. М. Дан цилиндр наклонный эллиптический с круговым основанием и осью, параллельной плоскости П₁.

Поскольку ось цилиндра — фронтальная прямая, а образующие ей параллельны, следовательно, плоскость нормального сечения фронтально-проецирующая плоскость б (рис. 86). Вырожденная ее проекция б₂ проходит на эпюре через проекцию М₂ точки М перпендикулярно фронтальной проекции оси цилиндра. В сечении цилиндра плоскостью б получается замкнутая плоская кривая, называемая эллипсом. Фронтальная проекция эллипса сечения сливается с прямой б₂ и ограничена точками 1₂ и 2₂, лежащими на контурных образующих цилиндра. Горизонтальные проекции точек 1 и 2 находим на горизонтальных проекциях соответствующих образующих цилиндра. Точки 1 и 2, как видно из чертежа, являются самой верхней и самой нижней точками фигуры сечения, кроме того, они являются концами одной из осей эллипса сечения. Вторая ось эллипса сечения 3 4 перпендикулярна первой и делит первую пополам. Значит, на фронтальной плоскости проекций ось 3 4 вырождается в точку 3₂≡4₂, лежащую на проекции оси цилиндра. Горизонтальные проекции этих точек находим из условия принадлежности их образующим цилиндра. Точки 3 и 4 являются одновременно самой ближней и самой дальней точками сечения соответственно. И кроме того, точки 3 и 4 являются точками границы видимости для горизонтальной проекции, так как лежат на контурных образующих горизонтальной проекции цилиндра.

Чтобы точнее обвести фигуру эллипса сечения, в промежутке между построенными характерными точками выберем произвольные промежуточные точки, например, 5, 6 и 7, 8 (зададим их произвольно на фронтальной проекции сечения). Горизонтальные их проекции строятся из условия принадлежности их соответствующим образующим цилиндра.

Рис. 86

Соединив достроенные точки по лекалу, получим горизонтальную проекцию эллипса сечения цилиндра плоскостью. Для определения видимости фигуры сечения и цилиндра на горизонтальной проекции, следует на фронтальную проекцию смотреть по стрелке К. Секущую плоскость б и цилиндр считаем непрозрачными. Нижнее основание цилиндра и часть цилиндра между ним и секущей плоскостью оказывается под плоскостью и, следовательно, на горизонтальной проекции не видимы (обводим штриховой линией). Эллипс сечения, лежащий в секущей плоскости, будет виден на участке 3 1 4, так как эта его часть лежит на верхней видимой половине цилиндра. А участок эллипса 4 2 3 лежит на нижней невидимой половине цилиндра и поэтому невидим.

На этом примере хорошо разобрать и запомнить следующее правило: невидимые линии контура тела переходят в невидимые линии фигуры сечения и, наоборот, видимые контуры тела переходят в видимую линию фигуры сечения.

На фронтальной проекции плоскость и эллипс сечения сливаются в прямую, поэтому вопрос видимости не возникает.

Построим натуральную величину эллипса сечения.

Сделать это можно несколькими способами, например, переменой плоскости проекций П₁, вращением вокруг фронтально-проецирующей оси i. Выполним построение вторым способом. При этом фронтальные проекции точек эллипса сечения перемещаются по окружностям с центрами в i₂, а горизонтальные проекции перемещаются по прямым, перпендикулярным к i₁.

Конические сечения

1. Эллипс (окружность) – рис. 87.

Если секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих конуса, т. е. пересекает все образующие, то в сечении получается замкнутая кривая, называемая эллипсом. В частности, если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса вращения, то в сечении получается окружность (рис. 87). Угол наклона секущей плоскости к оси конуса в этом случае больше угла наклона образующей конуса к оси.

Эллипс Окружность

Рис. 87

2. Парабола (прямая) – рис. 88.

Если секущая плоскость параллельна одной образующей конуса (на рис. 88 - SА), то в сечении получается парабола. Это разомкнутая кривая, так как плоскость не пересекает образующую SА даже в продолжении; и имеет одну ветвь, так как верхнюю полу конуса плоскость тоже не пересекает. В частности, если плоскость проходит через вершину конуса, в сечении получается прямая SА, по которой плоскость касается конуса.

Можно также сказать, что парабола получается, если секущая плоскость наклона к оси конуса под углом, равным углу наклона образующей к оси.

Парабола Прямые

Рис. 88

3. Гипербола (две прямых) – рис. 89.

Если секущая плоскость параллельна двум образующим, например, SА и SВ (рис. 89), то в сечении получается гипербола. Точки 1 и 2 — вершины двух ветвей гиперболы. В частности, если плоскость проходит через вершину конуса, то в сечении получается пара пересекающихся прямых (образующих конуса).

Рис. 89

Пересечение сферы проецирующей плоскостью

С фера (шар) представляет собой единственное геометрическое тело, поверхность которого пересекается плоскостью любого положения всегда по окружности.

Секущие плоскости, проходящие через вертикальную ось сферы, рассекают ее по меридианам. Секущие плоскости, проходящие перпендикулярно к вертикальной оси сферы, рассекают ее по параллелям. Рис. 90

На рис. 91 изображена сфера в трех ортогональных проекциях, усеченная горизонтально-проецирующей плоскостью. Эта плоскость рассекает сферу по окружности, которая на горизонтальную плоскость проецируется в отрезок, совпадающий с горизонтальным следом P_П1 секущей плоскости. Фронтальная и профильная проекции этой окружности изобразятся эллипсами, так как плоскость среза расположена наклонно к плоскостям П₁ и П₂.

Построение эллипса (проекции фигуры сечения сферы плоскостью) начинают с построения характерных точек.

Характерными точками являются:

• концы большой (С и D) и малой (А и В) осей эллипса ;

• точки, лежащие на фронтальном очерке сферы - N и M;

• точки, лежащие на горизонтальном очерке сферы (А и В);

• точки, лежащие на профильном очерке сферы (Е и F).

Малая ось эллипса: АВ будет лежать на экваторе. Точки А и В с горизонтальной проекции проецируют с помощью линий проекционной связи на фронтальную (А₁ и В₁) и профильную (А₃ и В₃) проекции экватора.

Большая ось эллипса располагается перпендикулярно к малой оси. Для ее построения на горизонтальной проекции из точки О₁ проводят перпендикуляр к малой оси АВ. Большая ось на горизонтальную плоскость проекций проецируется в точку D₁ ≡ С₁. Из этой точки с горизонтальной проекции на фронтальную и профильную проводят линии проекционной связи. Большая ось на этих плоскостях проекций параллельна оси O_Z и равна диаметру окружности, лежащей в плоскости среза. Это расстояние (АВ) измеряют на горизонтальной проекции и переносят на фронтальную и профильную проекции, получая фронтальную проекцию D₂С₂ и профильную проекцию D₃С₃ большой оси.

Рис. 91

Затем строятся точки N и M, лежащие на фронтальном очерке (меридиане) сферы, а также точки Е и F, лежащие на профильном очерке сферы.

Фронтальные проекции точек N и M - N₂; M₂ лежат на фронтальной проекции фронтального очерка сферы ( на фронтальном меридиане сферы). Профильные проекции точек N и M - N₃; M₃ лежат на профильной проекции фронтального очерка сферы.

Профильные проекции точек Е и F – Е₃ и F₃ лежат на профильной проекции профильного очерка сферы (на профильном меридиане сферы).

Затем строятся промежуточные точки: 1, 2, 3, 4 с помощью вспомогательных секущих плоскостей. Вспомогательные параллели проводят так, чтобы окружность – линия сечения сферы проецировалась на плоскость проекций без искажения. В данном случае параллели должны быть параллельны фронтальной плоскости проекций. Проводим плоскости: R₁ и Q₁ , рассекающие сферу по окружностям радиусами r₁ и r₂. Точки 1, 2, 3, 4 лежат на этих окружностях. Радиус параллели всегда замеряется в данной плоскости от оси поверхности вращения до очерка.