Глава 3. Характеристика основных типов статистических прогнозирующих математических моделей
В настоящей главе дается общая классификация и анализ статистических (вероятностных) математических моделей, используемых для краткосрочного и оперативного прогнозирования параметров объектов и процессов, в частности, электропотребления предприятий и энергосистем.
Подробно анализируются модели временных рядов, составляющие основу статистических прогнозирующих математических моделей случайных процессов, в частности: AR-, ARMA-, ARIMA-, МА-модель и модели взвешенного скользящего среднего, экспоненциального сглаживания Брауна и т.п. Как многофакторные рассматриваются: ARX-модели, ARMAX-модели и т.п. На реальных данных показана применимость ARIMA-моделей для прогноза графиков нагрузки энергосистем и предприятий. Однако структурную устойчивость данная модель сохраняет, если для приведения моделируемого процесса к стационарному виду используются разности порядка d<2.
Анализируются прогнозирующие модели функционирования объектов и систем, основанные на фильтрах Калмана и Винера (модель Заде – Рагаззини); спектральных ортогональных разложениях, в том числе, Карунена – Лоэва; каноническом разложении случайного процесса; многомерной регрессии; теории кластерного анализа; теории распознавания образов.
При статистической
параметрической идентификации случайного
процесса важен вопрос определения
характеристик точности, полученных
оценок параметров модели и их зависимость
от объема предыстории. Эта информация
необходима, например, для принятия
решения об окончании идентификации
объекта, а также при выборе той или иной
модели. Наиболее полные данные об этом
содержатся в многомерной плотности
вероятности
оценки параметров
модели случайного процесса [9]. Однако,
предполагая нормальность этого
распределения вероятности, его без
потери информации характеризуют
числовыми характеристиками:
математическим ожиданием
;смещением
;корреляционной матрицей
.
Косвенными характеристиками, определяющими желаемые свойства полученных параметров, являются [9, 10, 65]:
несмещенность, показывающая, что для каждого параметра вектора среднее значение по множеству реализаций совпадает с истинным значением параметра
:
или асимптотическая несмещенность:
;состоятельность, определяющая, что оценка с увеличением объема выборки или ростом j сходится по вероятности к истинному значению :
,
или, иначе, состоятельность при асимптотической несмещенности определяет стремление к нулю дисперсии ошибок оценивания параметров
,
где
– след матрицы
;
эффективность, показывающая, что оценка параметров в классе
всех несмещенных оценок параметров
обладает минимальной дисперсией:
.
Если эффективность
имеет место только при
,
то ее называют асимптотической.
Перечисленные характеристики являются определяющими факторами при выборе той или иной математической модели объекта и алгоритма идентификации в конкретных случаях.
Так, известно [9], что МНК при оценивании параметров динамических объектов приводит в общем случае к смещенным оценкам, но это не является полным препятствием к использованию этого метода. При малой интенсивности шумов точность оценивания параметров, как правило, оказывается достаточной для практических задач и т.д. Приведем краткое описание моделей, перечисленных на рис. 2.1.