1.6.1. Взаимное пересечение пирамидальных и призматических поверхностей

Определённые трудности в построении линий взаимного пересечения пирамидальных поверхностей обусловлены тем обстоятельством, что в подавляющем большинстве случаев грани и рёбра пирамид занимают в пространстве общие положения.

В значительной степени трудоёмкость решения задач на построение линий взаимного пересечения многогранных поверхностей уменьшается в том случае, когда одна из них представляет собой призматическую поверхность. Используя тот или иной способ преобразования проекционных чертежей, представляется возможным преобразовать грани призматической поверхности общего положения в проецирующие. В этом случае трудоемкость графических построений проекций линий пересечения пирамидальной и призматической поверхностей весьма значительно сокращается, так как в этом случае на чертеже уже имеется одна из проекций фигуры взаимного пересечения поверхностей.

На чертеже (рис. 75) представлены проекции пирамиды SABC и трехгранной призмы. Грани призмы представляют собой фронтально-проецирующие плоскости.

И

Рис. 75

з анализа взаимного расположения одноименных проекций многогранников относительно друг друга и относительно плоскостей проекций следует, что многогранники в пространстве пересекаются. Свидетельством тому является факт наложения друг на друга их одноименных проекций. При их пересечении происходит полное проницание, в результате чего должны образоваться две пространственные ломаные линии. Одна из них – линия входа, вторая – линия выхода.

Характер взаимного расположения фронтальных проекций многогранников относительно друг друга свидетельствует о том, что эти линии образуются при пересечении граней боковой поверхности пирамиды SABC с гранями I-II-III-I призмы и пересечения ребра III призмы с гранями SAC и SCB пирамиды. И так как грани трехгранной призмы представляют собой фронтально-проецирующие плоскости, то построение проекций линий взаимного пересечения многогранников, по сути дела, сводится лишь к построению недостающих проекций вершин пространственных многоугольников, представляющих собой проекции точек пересечения прямых SA, SB, SC пирамиды с гранями I-II, II-III, III-I призмы и ребра III призмы с гранями SAC и SCB пирамиды. Это обстоятельство предопределяет выполнение графических построений в следующей последовательности.

На фронтальной плоскости проекций (рис. 76) отмечают точки: 1₂, 2₂, 3₂ пересечения прямых S₂-A₂, S₂-В₂ и S₂-С₂ пирамиды с проекцией I₂-II₂ грани призмы.

На основании признака принадлежности точки прямой (рис. 77) строят их недостающие – горизонтальные 1₂, 2₂ и 3₂ проекции.

П

Рис. 76

опарно соединив прямыми (рис. 78) горизонтальные 2₁ и 3₁ проекции точек, лежащих в одной грани, получают проекции линии взаимного пересечения граней боковой поверхности пирамиды ABC с гранью I-II призмы.

Далее (рис. 79) на фронтальной плоскости проекций отмечают положения точек: 4₂ и 5₂ пересечения прямых S₂-A₂ и S₂-В₂ пирамиды с проекцией I₂-IΙI₂ грани призмы.

На основании признака принадлежности точек прямым SA и SB строят (рис. 80) их недостающие – горизонтальные 4₁ и 5₁ проекции. Соединив затем точки 4₁ и 5₁ штриховой линией (линией невидимого контура), получают горизонтальную проекцию линии взаимного пересечения грани SAB пирамиды с гранью I-III призмы.

Затем строят проекции точек пересечения ребра III призмы с гранями SBC и SCA пирамиды (рис. 81).

Ребро III призмы является фронтально-проецирующей прямой и поэтому с ее фронтальной IΙI₂ проекцией совпадают проекции 6₂ и 7₂ точек пересечения этого ребра с гранями SBC и SCA пирамиды.

Для построения горизонтальных проекций точек 6 и 7 ребро III призмы заключают во вспомогательную горизонтальную секущую плоскость (сигма). В этом случае в сечении пирамиды SABC плоскостью образуется треугольник, стороны которого должны быть параллельны сторонам треугольника ABC основания пирамиды, лежащего в горизонтальной плоскости проекций. Соответственно и горизонтальные проекции сторон треугольника сечения должны быть параллельны горизонтальным проекциям сторон треугольника основания пирамиды.

В месте пересечения следа секущей плоскости с прямой S₂-С₂ отмечают точку 9₂ и строят её горизонтальную 9₁ проекцию. Затем на

Рис. 77 Рис. 78

Рис. 79 Рис. 80

Рис. 81 Рис. 82

горизонтальной плоскости проекций из точки 9₁ проводят прямые, параллельные проекциям А₁-С₁ и С₁-В₁ сторон основания пирамиды, до пересечения с проекцией IΙI₁ ребра призмы.

В

Рис. 83

результате получают положения на чертеже проекций 6₁ и 7₁ точек пересечения ребра III призмы с гранями SBC и SCA пирамиды.

И, наконец, на фронтальной плоскости проекций (рис. 82) отмечают точку 8₂ пересечения прямой S₂-С₂ пирамиды с гранью IΙI₂-II₂ призмы. А затем на основании принадлежности точки 8 прямой SC строят ее горизонтальную 8₁ проекцию.

Теперь, попарно соединив линиями невидимого контура (штриховыми линиями) проекции точек 4, 5, 6, 7, и 4, лежащих в одних и тех же гранях пирамиды или призмы, получают проекции второй линии пересечения пирамиды с призмой – линию входа пирамиды SABC в призму.

Таким образом, наличие проецирующих граней у одного из многогранников весьма существенно снижает трудоемкость графических построений линий взаимного пересечения двух многогранных поверхностей.

На рис. 83 представлена аксонометрическая проекция (прямоугольная диметрия) полного проницания рассмотренных выше пирамидальной и призматической поверхностей.