1.4.2. Построение проекций линии пересечения треугольников

Построение проекций линии пересечения двух треугольников – плоскостей основано на том, что, во-первых, две плоскости пересекаются друг с другом по прямой, принадлежащей обеим фигурам, и, во-вторых, положения проекций прямой пересечения однозначно определяются положениями проекций двух точек, принадлежащих этой прямой.

Поэтому линию пересечения треугольников строят по точкам пересечения сторон каждого из треугольников с плоскостью другого. Это по

Рис. 46

зволяет определить положения на чертеже проекций двух точек, одновременно принадлежащих обоим треугольникам. Соединив прямой одноименные проекции указанных точек, получают фронтальную и горизонтальную проекции прямой пересечения двух треугольников.

Построению проекций точки пересечения стороны одного из треугольников с плоскостью другого должен предшествовать анализ расположения на чертеже проекций сторон треугольников относительно площади наложения контуров проекций треугольников. Это обстоятельство объясняется тем, что проекции прямой пересечения двух треугольников должны располагаться внутри площади наложения проекций этих треугольников. Если же проекции каких-либо сторон треугольников не пересекают площадь взаимного наложения их проекций, то эти стороны одного треугольника не пересекают плоскость другого. Так (рис. 47), фронтальные Д₂Е₂ и В₂С₂ проекции сторон ДЕ и ВС не пересекают площадь взаимного наложения фронтальных А₂В₂С₂ и Д₂Е₂К₂ проекций треугольников АВС и ДЕК. На основании этого делают вывод о том, что сторона ВС не пересекается с плоскостью треугольника ДЕК.

Для выявления характера взаимного расположения треугольника АВС и стороны КЕ последнюю заключают во вспомогательную (фронтально- или горизонтально- проецирующую) секущую плоскость. На чертеже (рис. 47) выбрана фронтально-проецирующая плоскость Р (ро). Выбор в качестве секущей фронтально-проецирующей плоскости обусловлен лишь наглядностью последующих графических построений.

След P₂ вспомогательной фронтально-проецирующей плоскости совпадает с фронтальной К₂Е₂ проекцией прямой КЕ и графически обозначен разомкнутой линией (ГОСТ 2.303-68) толщиной 1,5 мм и длиной 12…15 мм.

На следе Р₂ располагается фронтальная проекция прямой взаимного пересечения двух плоскостей: треугольника АВС и фронтально-проецирующей плоскости Р. Её положение на чертеже определяется точками 1₂ и 2₂ пересечения сторон АВ и АС в пространстве с секущей плоскостью Р.

На основании принадлежности точки 1 стороне АВ и точки 2 стороне АС построена горизонтальная 1₁-2₁ проекция прямой взаимного пересечения двух плоскостей. Прямые 1-2 и КЕ оказались расположенными в одной фронтально-проецирующей плоскости. Такие прямые называются конкурирующими. Фронтальные проекции этих прямых совпадают и поэтому на горизонтальной плоскости проекций представляется возможность выявить характер их взаимного расположения в пространстве.

Так как на чертеже горизонтальные 1₁-2₁ и К₁-Е₁ проекции прямых не пересекаются, то и в пространстве сторона КЕ не пересекается с треугольником АВС.

Рис. 47 Рис. 48

С помощью аналогично рассмотренных выше графических построений выявляют характер взаимного расположения стороны КД и треугольника АСВ (рис. 48).

В качестве секущей выбрана фронтально-проецирующая плоскость N (ню). Прямая 3-4 (3₂-4₂), (3₁-4₁) является прямой взаимного пересечения вспомогательной секущей плоскости N с плоскостью треугольника АВС. Горизонтальные К₁-Д₁ и 3₁-4₁ проекции прямых пересекаются в точке F₁. С помощью линии связи на следе N₂ секущей плоскости определяется положение фронтальной F₂ проекции точки.

В результате выполненных построений становится вполне очевидным, что точка F (F₂, F₁) принадлежит прямой КД, так как проекции точки располагаются на соответствующих проекциях этой прямой. В то же время точка F принадлежит и плоскости треугольника АВС, так как проекции точки располагаются на соответствующих проекциях прямой 3–4, принадлежащей этому треугольнику. На основании этого обстоятельства делают вывод о том, что точка F (F₁, F₂) является искомой точкой пересечения стороны КД с треугольником АВС.

Таким образом, выполненные графические построения позволили установить факт пересечения с плоскостью треугольника АВС лишь стороны КД треугольника ДЕК.

Теперь приступают к выявлению характера взаимного расположения сторон АС и АВ с плоскостью треугольника ДЕК.

На чертеже (рис. 49) сторона АС заключена во вспомогательную фронтально-проецирующую секущую плоскость Ф (фи). Прямая 5-6 (5₂-6₂, 5₁-6₁) является прямой пересечения плоскости треугольника ДЕК с фронтально-проецирующей плоскостью Ф. Она принадлежит плоскости треугольника ДЕК и является конкурирующей по отношению к стороне АС. Горизонтальные 5₁-6₁ и А₁-С₁ проекции конкурирующих прямых не пересекаются друг с другом. Это свидетельствует о том, что сторона АС с плоскостью треугольника ДЕК в пространстве не пересекается.

И, наконец, сторону АВ (рис. 50) заключают во вспомогательную фронтально-проецирующую секущую плоскость Т (τ - тау). Строят проекции 7₂-8₂ и 7₁-8₁ прямой пересечения фронтально-проецирующей плоскости Т с плоскостью ДЕК. В пересечении проекций 7₁-8₁ и А₁-В₁ конкурирующих прямых выявляют положение точки М₁. При помощи линии связи определяют положение фронтальной М₂ проекции точки на следе Т₂ вспомогательной секущей плоскости. Точка М (М₁, М₂) является искомой точкой пересечения стороны АВ с треугольником ДЕК.

Таким образом, в результате выполненных графических построений на чертеже выявлены положения проекций двух точек F и М пересечения сторон каждого из треугольников с плоскостью другого.

Рис. 49 Рис. 50

Соединив прямой одноимённые проекции точек F и М, получают фронтальную F₂-М₂ и горизонтальную F₁-М₁ проекции прямой F-М пересечения треугольников АВС и ДЕК.

РЕКОМЕНДАЦИИ:

1. Началу графических построений должен предшествовать анализ расположения на исходном чертеже задачи проекций сторон каждого из треугольников относительно общей площади наложения одноимённых проекций треугольников. Это позволяет выявить стороны каждого из треугольников, не пересекающиеся с плоскостью другого.

2. Выбор вида вспомогательной секущей плоскости – горизонтально- или фронтально-проецирующей, зависит лишь от удобства выполнения последующих графических построений.

3. Не следует затенять исходный чертеж задачи графическими построениями, не дающими желаемого результата – положения проекций точек пересечения стороны одного из треугольников с плоскостью другого. Такие построения следует предварительно выполнить либо на черновике, либо с помощью пяти-шестигранных карандашей.