Ι.5.4.4. Пересечение многогранника с прямой общего положения

На чертеже (рис. 69, а) представлены проекции пирамиды SABC и прямой m общего положения.

Из анализа взаимного расположения проекций фигур на чертеже следует, что прямая m пересекается с гранями SAB и SBC пирамиды.

З

Рис. 69

адачу на построение проекций точек пересечения прямой m общего положения с гранями пирамиды решают в следующей последовательности:

1. Заключают прямую общего положения во вспомогательную проецирующую плоскость. На чертеже (рис. 69, б) прямая m заключена в горизонтально-проецирующую плоскость ∑, след которой совпадает с горизонтальной m₁ проекцией прямой m.

2. Строят многоугольник сечения пирамиды плоскостью ∑ (рис. 69, в).

3. Определяют положение проекций точек 4 и 5 пересечения прямой m с контуром фигуры сечения пирамиды вспомогательной секущей плоскостью ∑ (рис. 69, г). Отмеченные точки являются искомыми точками пересечения прямой m общего положения с многогранником – пирамидой SABC.

Н

Рис. 69

Рис. 70

а чертеже (рис. 70) представлен пример решения той же задачи, но прямая общего положения заключена теперь уже во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость.

Ι.5.4.5. Пересечение многогранника с плоскостью общего положения

Выше отмечалось, что задачу на построение сечения многогранника (рис. 71), например пирамиды SABC, плоскостью общего положения обычно сводят к многократному решению задачи на пересечение прямой с плоскостью. Для этого вначале строят вершины многоугольника сечения, как точки пересечения рёбер SA, SB и SC многогранника с секущей плоскостью. А затем соединяют отрезками прямых каждые две вершины многоугольника сечения, лежащие в одной и той же грани многогранника.

Р

Рис. 71

ассмотрим решение конкретных задач на построение проекций сечения многогранника плоскостью общего положения.

На чертеже (рис. 72, а) изображены: трёхгранная пирамида АВС и секущая плоскость  (альфа) общего положения, заданная двумя пересекающимися прямыми: фронталью – f и горизонталью – h.

Анализируя расположение заданных фигур на чертеже (рис. 72, б), устанавливают, что основание пирамиды – треугольник АВС и прямая h расположены в горизонтальной плоскости проекций, так как их фронтальные проекции совпадают с осью X.

Э

Рис. 72

то позволяет определить на чертеже положения точек E и F пересечения прямой h, принадлежащей плоскости , с гранью АВС многогранника.

Выявив горизонтальные Е₁ и F₁ проекции точек, строят их фронтальные Е₂ и F₂ проекции. Прямая EF (E₁F₁, E₂F₂) представляет собой линию пересечения пирамиды плоскостью общего положения.

Далее предполагают, что с секущей плоскостью  пересекаются рёбра SA, SB и SC боковой поверхности пирамиды.

Проекции прямых SA, SB и SC не параллельны и не перпендикулярны оси проекций X. Это значит, что каждая из прямых занимает в пространстве общее положение.

Тогда для построения проекций вершин сечения боковой поверхности пирамиды необходимо определить положения на чертеже проекций точек пересечения каждой из трёх прямых: SA, SB и SC, – с плоскостью .

Так как прямые SA, SB и SC и плоскость  занимают общие положения, то для построения проекций точек их взаимного пересечения используют способ вспомогательных секущих плоскостей, в качестве которых чаще всего применяют проецирующие плоскости.

На чертеже (рис. 72, в) прямая SA заключена во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость ∑.

След ∑₂ секущей плоскости совпадает с фронтальной S₂A₂ проекцией прямой SA.

Прямая 1₂2₂ представляет собой фронтальную проекцию линии взаимного пересечения двух плоскостей: заданной –  и вспомогательной – ∑.

Строят горизонтальную 1₁2₁ проекцию линии пересечения плоскостей и на горизонтальной плоскости проекций рассматривают взаимное расположение проекций прямых SA и 1-2 .

Горизонтальные 1₁2₁ и S₁A₁ проекции прямых пересекаются в точке 4₁. Фронтальная 4₂ проекция точки пересечения располагается на следе ∑₂ вспомогательной секущей плоскости.

Точка 4 (4₁, 4₂) является искомой точкой пересечения прямой SA с плоскостью , так как она принадлежит обеим фигурам:

- прямой SA, потому что проекции точки 4 расположены на соответствующих проекциях этой прямой,

- плоскости , потому что проекции точки 4 расположены на соответствующих проекциях 1 2, принадлежащей плоскости .

Для построения точки пересечения прямой SC с плоскостью  заключает прямую во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость θ (тэта) (рис. 72, г).

След θ₂ секущей плоскости совпадает с фронтальной S₂C₂ проекцией прямой SС. Прямая 1₂2₂ представляет собой фронтальную проекцию линии взаимного пересечения двух плоскостей: заданной –  и вспомогательной – θ.

Рис. 72

Строят горизонтальную 1₁2₁ проекцию линии взаимного пересечения двух плоскостей и на горизонтальной плоскости проекций рассматривают взаимное расположение проекций прямых S C и 1-2. Горизонтальные 1₁2₁ и S₁C₁ проекции прямых пересекаются в точке 5₁. Фронтальная 5₂ проекция точки пересечения располагается на следе θ₂ секущей плоскости.

Точка 5 (5₁, 5₂) является искомой точкой пересечения прямой SС с плоскостью , так как она принадлежит обеим фигурам:

- прямой SС, потому что проекции точки 5 располагаются на соответствующих проекциях этой прямой;

- плоскости , потому что проекции точки 5 располагаются на соответствующих проекциях прямой 1-2, принадлежащей плоскости .

Для построения точки пересечения прямой SB с плоскостью  (рис. 72, д) заключают прямую во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость Ф (фи).

След Ф₁ секущей плоскости совпадает с горизонтальной S₁B₁ проекцией прямой SВ.

Прямая 1₁2₁ представляет собой горизонтальную проекцию линии взаимного пересечения двух плоскостей: заданной  и вспомогательной – Ф.

Строят фронтальную 1₂2₂ проекцию линии взаимного пересечения двух плоскостей и на фронтальной плоскости проекций рассматривают взаимное расположение проекций прямых SB и 1-2. Фронтальные 1₂2₂ и S₂B₂ проекции прямых не пересекаются. Это означает, что в пространстве прямая SB не пересекается с плоскостью .

И

Рис. 73

так, (рис. 72, e) в результате выполненных построений выявлены положения проекций вершин – точки F, 4, 5, E многоугольника, который должен получиться при рассечении пирамиды SABC плоскостью  общего положения.

Попарно соединив отрезками прямых каждые две одноименные проекции точек, лежащих в одной и той же грани многогранника, получают проекции F₁, 4₁, 5₁, E₁, F₁ и F₂, 4₂, 5₂, E₂, F₂ многоугольника сечения пирамиды SABC плоскостью общего положения, заданной двумя пересекающимися прямыми: фронталью – f и горизонталью – h.

И

Рис. 73

звестно, что от расположения фигур в пространстве относительно заданной системы плоскостей проекций – общего или частного – в значительной степени зависит трудоемкость решения той или иной метрической или позиционной задачи.

На чертеже (рис. 73, а) секущая плоскость  (₁, ₂) и ребра боковой поверхности пирамиды: SА ( S₁A₁, S₂A₂), SC ( S₁C₁, S₂C₂ ) и SB (S₁B₁, S₂B₂) занимают общие положения относительно заданной системы плоскостей проекций.

Если же секущую плоскость  общего положения преобразовать в проецирующую (рис. 73, б), то трудоёмкость построения проекций точек пересечения ребер пирамиды с плоскостью , весьма существенно уменьшится. В связи с тем, что секущая плоскость  задана на чертеже двумя пересекающимися прямыми: фронталью – f и горизонталью – h, её легко преобразовать в проецирующую, например, способом замены плоскостей проекций.

Д

Рис. 73

ля этого достаточно на чертеже на горизонтальной плоскости проекций провести новую ось проекций П₁/П₄ перпендикулярно горизонтальной h₁ проекции горизонтали h и построить новую проекцию f₄ прямой f, так как горизонтальная прямая h преобразуется в новой П₁/П₄ системе плоскостей проекций в точку h₄ расположенную непосредственно на новой оси проекций. Таким образом, в новой системе плоскостей проекций П₁/П₄ плоскость  общего положения является проецирующей, так как теперь одна из её проекций ₄ представляет собой прямую линию, совпадающую с проекцией f₄ фронтальной прямой. В новой системе плоскостей проекций П₁/П₄ строят проекцию пирамиды: S₄ A₄ B₄ C₄.

Выполненное преобразование позволяет не только сразу выявить положения проекций 4₄ и 5₄ точек пересечения соответственно прямых SА и SC с секущей плоскостью (рис. 73, в), но и установить, что прямая SB в пространстве вовсе не пересекается с плоскостью , так как прямая S₄ B₄ не пересекается со следом ₄ секущей плоскости. Значит, прямая SВ с плоскостью  не пересекается. А в решении задачи по первому варианту не пересечение прямой SВ с плоскостью  выявилось только с помощью построения линии пересечения плоскости  вспомогательной горизонтально-проецирующей плоскостью Ф, проходящей через прямую SB. На основании принадлежности точек 1, 4, 2 и 5 соответствующим прямым строят их фронтальные проекции: 1₂, 4₂, 5₂ и 2₂. Попарно соединив отрезками прямых одноимённые проекции точек, лежащих в одной и той же грани, получают проекции: 1₁, 4₁, 5₁, 1₁ и 1₂, 4₂, 5₂, 1₂ – многоугольника сечения пирамиды SABC плоскостью  общего положения.