§ 14. Вычисление полей с помощью теоремы Гаусса

'Теорема Гаусса позволяет в ряде случаев найти напряженность поля гораздо более простыми средствами, чем с использованием формулы (5.3) для напряженности поля точечного заряда и принципа суперпозиции полей. Продемонстрируем возможности теоре­мы Гаусса на нескольких полезных для дальнейшего примерах. Прежде чем приступить к рассмотрению этих примеров, введем понятия поверхностной и линейной плотностей заряда.

Если заряд сосредоточен в тонком поверхностном слое несущего заряд тела, распределение заряда в пространстве можно охаракте­ризовать с помощью поверхностной плотности о, которая определяется выражением

(14.1)

Здесь dq - заряд, заключенный в слое площади dS. Под dS подра­ зумевается физически бесконечно малый участок поверхности. Если заряд распределен по объему или поверхности цилиндри­ ческого тела (равномерно в каждом сечении), используется ли-­ нейная плотность заряда

(14.2)

(dl — длина физически бесконечно малого отрезка цилиндра, dq-

заряд, сосредоточенный на этом отрезке).

Поле бесконечной однородно заряженной плоскости. Пусть поверхностная плотность заряда во всех точках плоскости одина­кова и равна о; для определенности будем считать Заряд положи­тельным. Из соображений симметрии вытекает, что напряженность поля в любой точке имеет направление, перпендикулярное к плос­кости. Действительно, поскольку плоскость бесконечна и заряжена однородно, нет. никаких оснований к тому, чтобы вектор Е откло­нялся в какую-либо сторону от нормали к плоскости. Далее очевид­но, что в симметричных относительно плоскости точках напряженность поля одинакова по величине и противоположна по на­правлению.

Представим себе мысленно цилиндрическую поверхность с об­разующими, перпендикулярными к плоскости, и основаниями вели­чины ΔS, расположенными относительно плоскости симметрично (рис. 14.1). В силу симметрии E'= Е" = Е. Применим к поверхно­сти теорему Гаусса. Поток через боковую часть поверхности будет отсутствовать, поскольку Еn в каждой ее точке равна нулю. Для оснований Еn совпадает с Е. Следовательно, суммарный поток через поверхность равен 2E ΔS. Внутри поверхности заключен заряд о ΔS. Согласно теореме Гаусса должно выполняться условие

, из которого

(14.3)

Полученный нами результат не зависит от длины цилиндра. Это означает, что на любых расстояниях от плоскости напряженность поля одинакова по величине. Вид линий напряженности показан на рис. 14.2. Для отрицательно заряженной плоскости результат будет таким же, лишь направление вектора Е и линий напряжен­ности изменится на обратное.

Если взять плоскость конечных размеров, например заряженную топкую пластинку ', то полученный выше результат будет справед­ливым только для точек, расстояние которых от края пластинки значительно превышает расстояние от самой пластинки (на рис. 14.3

Рис. 14.3. Рис. 14,4.

область этих точек обведена пунктирной кривой). По мере удаления от плоскости или приближения к ее краям поле будет все больше отличаться от поля бесконечной заряженной плоскости. Характер поля на больших расстояниях легко представить, если учесть, что на расстояниях, значительно превышающих размеры пластинки, создаваемое ею поле можно рассматривать как поле точечного заряда.

^! В случае пластинки под в формуле (14.3) следует понимать заряд, сосре­доточенный на 1 м² пластинки но всей ее толщине. У .металлических тел заряд распределяется но внешней поверхности. Поэтому под нужно подразумевать удвоенную величину плотности заряда на ограничивающих металлическую плас­тинку поверхности

Поле двух разноименно заряженных плоскостей. Поле двух па­раллельных бесконечных плоскостей, заряженных разноименно с одинаковой по величине постоянной поверхностной плотностью , можно найти как суперпозицию нолей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности (рис. 14.4). В области между плос­костями складываемые поля имеют одинаковое направление, так что результирующая напряженность равна

Вне объема, ограниченного плоскостями, складываемые поля име­ют противоположные направления, так что результирующая на­пряженность равна нулю.

Таким образом, поле оказывается сосредоточенным между пло­скостями. Напряженность ноля во всех точках этой области оди­накова по величине и по направлению; следовательно, поле однородно. Линии напряженности представляют собой со­вокупность параллельных равноотстоя­щих прямых.

Полученный нами результат приближенно справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостя­ми много меньше их линейных размеров (плоский конденсатор), В этом случае заметные отклонения поля от однородности наблюдаются только вблизи краев пластин (рис, 14.5).

Поле бесконечного заряженного цилиндра. Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной поверхностной плотностью о. Из соображений симмет­рии следует, что напряженность поля в любой точке должна быть направлена вдоль радиальной прямой, перпендикулярной к оси цилиндра, а величина напряженности может зависеть только от расстояния r от оси цилиндра. Представим себе мысленно коакси­альную с заряженной поверхностью замкнутую цилиндрическую поверхность радиуса r и высоты h (рис. 14.6). Для оснований ци­линдра Еn = 0,для боковой поверхности Еn = Е(r) (заряд пред­полагаем положительным). Следовательно, поток вектора Е через рассматриваемую поверхность равен . Если r > R, внутрь поверхности попадает заряд q = h ( — линейная плотность заряда). Применив теорему Гаусса, получим

E(r)·2πrh =

Отсюда

E(r) = (r≥R). (I4.5)

Если r < R, рассматриваемая замкнутая поверхность не содер­жит внутри зарядов, вследствие чего Е(r) = 0.

Таким образом, внутри равномерно заряженной цилиндриче­ской поверхности бесконечной длины поле отсутствует. Напря­женность поля вне поверхности определяется линейной плот­ностью заряда  и расстоянием r от оси цилиндра.

Поле отрицательно заряженного цилиндра отличается от поля цилиндра, заряженного положительно, только направлением вектора Е.

Из формулы (14.5) следует, что, уменьшая радиус цилиндра R (при неизменной линейной плотности заряда .), можно получить вблизи поверхности цилиндра поле, с очень большой напряженностью.

Подставив в (14.5)  = 2nRσ и положив r = R, получим для напря­женности поля в непосредственной близости к поверхности цилиндра значение

E(R) = (14.6)

С помощью принципа суперпози­ции легко найти поле двух коаксиаль­ных цилиндрических поверхностей, за­ряженных с одинаковой по величине, но отличающейся знаком линейной плотностью  (рис. 14.7). Внутри меньшего и вне большего цилиндров поле отсутствует. В зазоре между цилиндрами величина напряженности поля оп­ределяется формулой (14.5). Это справедливо и для цилиндриче­ских поверхностей конечной длины, если зазор между поверхностями много меньше их длины (цилиндрический конденсатор). Замет­ные отступления от поля поверхностей бесконечной длины будут наблюдаться только вблизи краев цилиндров.

Поле заряженной сферической поверхности. Поле, создаваемое сферической поверхностью радиуса R, заряженной с. постоянной поверхностной плотностью σ, будет, очевидно, центрально-симмет­ричным. Это означает, что направление вектора Е в любой точке проходит через центр сферы, а величина напряженности является функцией расстояния r от центра сферы. Вообразим концентриче­скую с заряженной сферой поверхность радиуса r. Для всех точек этой поверхности E_n = Е(r). Если r > R, внутрь поверхности по­падает весь заряд q, распределенный но сфере. Следовательно,

E(r)• 4л² = .

Откуда

E(r)= (r  R)

Сферическая поверхность радиуса r, меньшего, чем R, не будет содержать зарядов, вследствие чего для r < R получается E(r) = 0.

Таким образом, внутри сферической поверхности, заряженной с постоянной поверхностной плотностью σ, поле отсутствует. Вне этой поверхности поле тождественно с полем точечного заряда той же величины, помещенного в центр сферы.

Используя принцип суперпозиции, легко показать, что поле двух концентрических сферических поверхностей (сферический конденсатор), несущих одинаковые по величине и противополож­ные по знаку заряды + q и - q , сосредоточено в зазоре между поверхностями, причем величина напряженности поля в этом за­зоре определяется формулой (14.7).

Поле объемно-заряженного шара. Пусть шар радиуса R заря­жен с постоянной объемной плотностью ρ. Поле в этом случае обладает центральной симметрией. Легко сообразить, что для поля вне шара получается тот же результат (см. формулу (14.7)), что и в случае поверхностно-заряженной сферы. Однако для точек внут­ри шара результат будет иным. Сферическая поверхность радиуса r (r < R) заключает в себе заряд, равный ρ·4/3πr^{3 .} Поэтому теорема Гаусса для такой поверхности запишется следующим образом:

E(r) · 4πr² = ρ· πr³

Отсюда, заменив р через q / (4/3πR³), получим

E(r) = ( r ≤ R)

Таким образом, внутри шара напряженность поля растет ли­нейно с расстоянием r от центра шара. Вне шара напряженность убывает по такому же закону, как и у поля точечного заряда.