§ 11 Описание свойств векторных полей

Может вызвать недоумение то обстоятельство, что поскольку поток, как правило, выражается нецелым числом, сопоставляемое потоку число пересечений линий поля с поверхностью также будет нецелым. Однако смущаться этим не следует. Линии поля пред­ставляют собой чисто условный образ, никакого физического смысла они не имеют.

Рис. 11.2

Возьмем воображаемую поверхность в виде полоски бумаги, нижняя часть которой закручена относительно верхней на угол π (рис. 11.3). Выбор направления нормали для всей поверхности должен быть сделан одинаковым образом. Поэтому, если в верхней части полоски положительную нормаль направить вправо, то в нижней части нормаль будет направлена влево. Соответственно пе­ресечения изображенных на рис. 11.3 линий поля с верхней поло­виной поверхности нужно считать положительными, а с нижней половиной — отрицательными.

Для замкнутой поверхности (рис. 11.4) положительной счита­ется внешняя нормаль. Поэтому пересечения, соответствующие выходу линий наружу (в этом случае угол α острый), нужно брать со знаком плюс, а пересечения, возникающие при входе линий внутрь (в этом случае угод а тупой), надо брать со знаком минус.

Из рис. 11.4 видно, что в случае, когда линии поля проходят внутри замкнутой поверхности непрерывно, каждая линия, пере­секая поверхность, входит внутрь и выходит наружу одинаковое число раз. В итоге поток соответствующего вектора через эту по­верхность оказывается равным нулю. Легко сообразить, что в слу­чае, если линии поля обрываются внутри поверхности, поток век­тора через замкнутую поверхность будет численно равен разности числа линий, начинающихся внутри поверхности (N_нач), и числа линий, оканчивающихся внутри поверхности (N_оконч):

(11.10)

Знак потока зависит от того, какое из этих чисел больше. При N_нач = N_оконч поток равен нулю.

Дивергенция. Пусть нам дано поле вектора скорости несжима­емой неразрывной жидкости. Возьмем в окрестности точки Р вооб­ражаемую замкнутую поверхность S (рис. 11.5). Если в объеме V, ограниченном поверхностью, жидкость не возникает и не исче­зает, то поток, вытекающий наружу через поверхность, будет, оче­видно, равен нулю. Отличие потока жидкости Ф_α от нуля будет указывать на то, что внутри поверхности имеются источники или стоки жидкости, т. е. точки, в которых жидкость поступает в объем (ист очники) либо удаляется из объема (стоки). Величина

Рис. 11.4. Рис 115.

потока определяет суммарную алгебраическую мощность источни­ков и стоков¹. При преобладании источников над стоками поток будет положительным, при преобладании стоков — отрицательным.

Отношение потока к объему V, из которого он вытекает:

(11.11)

дает среднюю удельную мощность источников, заключенных в объ­еме V. В пределе стремлении V к нулю, т. е. при стягивании объема V к точке Р, выражение (11.11) даст удельную мощность источников в точке Р, которую называют дивергенцией {или расхож д е. н и е м) вектора (обозначается ). Итак,

Аналогично определяется дивергенция любого вектора :

(11.12)

Интеграл берется по произвольной замкнутой поверхности S, окру­жающей точку Р²;.V - объем, ограниченный этой поверхностью.

¹ Под мощностью источника (стока) понимается объем жидкости, выделяе­мый (поглощаемый) в единицу времени. Сток можно рассматривать как источник с отрицательной мощностью,

² Кружок у знака интеграла указывает на то, что интегрирование производится но замкнутой поверхности.