§ II описание свойств векторных полей

Для какого-то направления нормали величина (11.22) в данной точке окажется максимальной.

Таким образом, величина (11.22) ведет себя как проекция неко­торого вектора на направление нормали к плоскости контура, по которому берется циркуляция. Максимальное значение величины (11.22) определяет модуль этого вектора, а направление положи­тельной нормали n, при котором достигается максимум, дает на­правление вектора. Этот вектор называется ротором (или вихрем) вектора . Обозначается он символом . Используя это обозначение, можно записать выражение (11.22) в виде

(11.23)

Выражение (11.23) опре­деляет вектор . Это опре­деление является самым об­щим, не зависящим от вида координатной системы. Для того чтобы найти выражения

для проекций вектора на оси декартовой, системы координат, нужно определить значения величины (11.23) для таких ориента­ции площадки S, при которых нормаль n к площадке совпадает с одной из осей х, у, г. Если, например, направить n по оси х, то (11.23) превратится в . Контур Г расположен в этом случае в плоскости, параллельной координатной плоскости yz. Возьмем этот контур о виде прямоугольника со сторонами Δy и Δz (рис. 11.13; ось х имеет на этом рисунке направление на нас; указанное на ри­сунке направление обхода связано с направлением оси х правилом правого винта). Участок '1 контура противоположен по направле­нию оси z. Поэтому a1 на этом участке совпадает с — аz,. Рассуждая аналогично, найдем, что a1 на участках 2. 3 и 4 равна соответст­венно аy, аz, и --аy,. Следовательно, циркуляцию можно предста­вить в виде

(11,24)

где аz3 и аz1 - средние значения az, па участках 3 и / соответст­венно, a_y4 и а,_y2 — средние значения ay на участках 4 а 2.

' Электрическое поле в вакууме

Разность а_z3— а_z1 представляет собой приращение среднего значения а_z, на отрезке Δz при смещении этого отрезка в направле­нии оси у на Δy, Ввиду малости Δу и Δz это приращение можно представить в виде {да_z/ду) Δу, где значение да_z/ду берется в точ­ке P¹ ( ¹ Неточность, которую мы при этом допускаем, исчезает при стягивании контура к точке Р. осуществляемом при переходе к пределу.) Аналогично разность a_y4 –a_y2 можно представить в виде (дa_y/дz)Δz..Подставив эти выражения в (11.24) и вынеся общий множитель за скобки, получим для циркуляции выражение

где ΔS —- площадь контура. Разделив циркуляцию наΔ S, найдем выражение для проекции rot a на ось х:

(11.25)

Путем аналогичных рассуждений можно найти, что

(11,26)

(11,27)

Легко убедиться в том, что любое из выражений (11.25) - - (11.27)

может быть получено из предыдущего (для (11.25) предыдущим сле­дует считать (11.27)) путем так называемой циклической переста­новки координат, т. е. замены координат, осуществляемой по схеме

Итак, ротор вектора а определяется в декартовой системе коор­динат следующим выражением:

(11.28)

Ниже мы укажем более изящный способ записи этого выражения.

Теорема Стокса, Зная ротор вектора а в каждой точке некоторой (не обязательно плоской) поверхности S, можно вычислить цирку­ляцию этого вектора по контуру Г, ограничивающему S (контур также может быть неплоским). Для этого разобьем поверхность на очень малые элементы ΔS. Ввиду их малости эти элементы можно считать плоскими. Поэтому в соответствии с (11.23) циркуля­ция вектора а по контуру, ограничивающему ΔS, может быть представлена в виде

(11.29)

где n—положительная нормаль к элементу поверхности ΔS. В соответствии с формулой (11.21), просуммировав выраже­ние (11.29) по всем ΔS, получим циркуляцию вектора а по кон­туру Г, ограничивающему S:

Осуществив предельный переход, при котором все ΔS стремятся к нулю (число их при этом неограниченно растет), придем к формуле

. (11,30)

Соотношение (11.30) носит название теоремы Стокса. Смысл ее состоит в том, что циркуляция вектора а по произволь­ному контуру Г равна потоку вектора через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром.

Оператор набла. Написание формул векторного анализа зна­чительно упрощается и облегчается, если ввести векторный диф­ференциальный оператор, обозначаемый символом  (набла) и но­сящий название оператора набла или оператора Г а м и л ь т о н а. Под этим оператором подразумевается вектор с компонентами д/дх. д/д)у и д/дz. Следовательно,

(11.31)

Сам по себе этот вектор смысла не имеет. Он приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую он символически умножается. Так, если умножить вектор  скаляр φ, то получится вектор

(11,32)

который представляет собой градиент функции φ (см. (11.1)).

Если вектор  умножить скалярно на вектор а, получится ска­ляр

(11,33)

который есть не что иное, как дивергенция вектора (см, (11.34)).

Наконец, если умножить  на векторно, получится вектор с компонентами: и т, д., ко­торые совпадают с компонентами (см, (I 1.25) —(11.27)). Сле­довательно, воспользовавшись записью векторного произведения, с помощью определители, можно написать

(11.34)

Таким образом, существует два способа обозначений градиен­та, дивергенции и ротора:

, ,

Обозначения с помощью  обладают рядом преимуществ. Поэтому мы в дальнейшем будем применять такие обозначении. Следует приучить себя отождествлять символ  со словами «градиент фи» (т. е. говорить не «набла фи», а «градиент фи»), символ а - со словами «дивергенция а» и, наконец, символa— со слова­ми «ротор а».

Пользуясь вектором , нужно помнить, что он является диффе­ренциальным оператором, действующим на все функции, стоящие справа от него. Поэтому при преобразовании выражений, в кото­рые входит , нужно учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференциального исчисления. Например, производная произведения функций  и  равна

В соответствии с этим

(11.35)

Аналогично

(11.36)

Градиент некоторой функции  представляет собой векторную функцию. Поэтому к нему могут быть применены операции ди­вергенции и ротора:

(11.37)

( - оператор Лапласа);

(11.38)

(напомним, что векторное произведение вектора на самого себя

равно нулю)

Применим операции диверсии и ротора к функции :

(Смешанное произведение векторов равно объему параллелепипеда,

построенного на перемножаемых векторах ' (¹ См. § 2 тома !); если два из этих век­торов совпадают, объем параллелепипеда равен нулю);

(мы воспользовались формулой [a(bc]] = Ь(ас) — c(ab)).

Соотношение (11.39) означает, что поле ротора не имеет источ­ников. Следовательно, линии вектора |а] не имеют ни начала, ни конца. Именно по этой причине поток ротора через любую по­верхность S, опирающуюся на данный контур Г, оказывается одним и тем же (см. формулу (11.30)).

В заключение отметим, что с использованием оператора  фор­мулам (11.15) и (11.30) можно придать вид

(теорема Остроградского — Гаусса), (11,41)

(теорема Стокса). (11.42)