§ 11. Описание свойств векторных полей

Окружим точку Р сферической поверхностью крайне малого радиуса г (рис. 11.6). Ввиду малости r объем V, ограниченный сфе­рой, также будет весьма мал. Поэтому с большой степенью точно­сти можно считать, что значение div a в пределах объема V являет-

ся постоянным '. В этом случае можно в соответствии с (11.12) записать, что

где Ф_α - поток вектора а через поверхность, ограничивающую объем V. Согласно (11.10) Ф_α равен N_нач — числу линий вектора а, начинающихся внутри V, если diva в точке Р положительна, либо — N_оконч — взятому со знаком минус числу линий а, оканчивающих­ся внутри V, если diva в точке Р отрицательна. С учетом этого можно написать, что

или

При V→P приблизительное равенство превращается в точное.

Таким образом, численно равна плотности точек, в кото­рых начинаются линии вектора а (если > 0), или взятой со знаком минус плотности точек, в которых оканчиваются линии а (если < 0).

Из определения (11.12) следует, что дивергенция есть скаляр­ная функция координат, определяющих положения точек в про­странстве (кратко — функция точки). Определение (11.12) явля­ется самым общим, не зависящим от вида координатной системы.

Найдем выражение для дивергенции в декартовой системе ко­ординат Рассмотрим в окрестности точки Р {х, у, z) малый объем

¹ Предполагется, что значение diva изменяется при переходе от одной точки поля к другой непрерывно, без скачков.

Гл. 1. Электрическое поле в вакууме

в виде параллелепипеда с ребрами, перпендикулярными к коорди­натным осям (рис. 11.7). Поток вектора через поверхность парал­лелепипеда образуется из потоков, текущих через каждую из шести граней в отдельности.

Найдем поток через пару граней, перпендикулярных к оси х (на рис. 11.7 эти грани обозначены косой штриховкой и помечены цифрами 1 и 2). Внешняя нормаль n₂ к грани 2 совпадает с направлением оси х. Следовательно, для точек этой грани а_n2 = а_x. Внешняя нормаль n₁, к грани 1 имеет направление, про­тивоположное оси х. Поэтому для то­чек этой грани а_n1 = - a_x. Поток че­рез грань 2 можно записать в виде

где α_x2 — значение а_х, усредненное по грани 2. Поток через грань 1 равен

где α_x1— среднее значение а_х для грани 1. Суммарный поток через грани 1 и 2 определяется выражением

(11.13)

Разность α_x2— α_x1 представляет собой приращение среднего (по грани) значения а_х при смешении вдоль оси х на Δх. Ввиду малости параллелепипеда (напомним, что мы будем его размеры стремить к нулю) это приращение можно представить в виде (да_х/дх)Δх, где значение да_х/дх берется в точке Р¹: Тогда (11.13) переходит в

Путем аналогичных рассуждений можно получить для потоков че­рез пары граней, перпендикулярных к осям у и z, выражения

и

Таким образом, полный поток через всю замкнутую поверх­ность определяется выражением