§ 11. Описание свойств векторных полей

Чтобы продвинуться дальше в изучении электрического поля, необходимо ознакомиться с математическим аппаратом, применяе­мым для описания свойств векторных полей. Этот аппарат назы­вается векторным анализом. В данном параграфе мы рассмотрим основные понятия и некоторые формулы векторного анализа, а также докажем две главные теоремы векторного ана­лиза: теорему Остроградского — Гаусса и теорему Стокса.

Наибольшую наглядность величины, используемые в векторном анализе, имеют в случае поля вектора скорости текущей жидкости. Поэтому мы будем вводить эти величины, рассматривая течение идеальной несжимаемой жидкости, а затем распространять полу­ченные результаты на векторные поля, любой природы.

С одним из понятий векторного анализа мы уже знакомы. Это— градиент, используемый для характеристики скалярных по­лей. Если каждой точке Р с координатами х, у, z сопоставляется значение скалярной величины = (x, у, ), говорят, что задано скалярное поле . Градиентом величины называется вектор

(11.1)

Приращение функции при смещении на отрезок dl = e_xdx + е_ydy + e_zdz равно

d = + + ,

что можно представить в виде

d = (,· ) (11.2)

Теперь перейдем к установлению характеристик векторных полей.

Поток вектора. Пусть течение жидкости охарактеризовано по­лем вектора скорости. Объем жидкости, протекающей в единицу времени через некоторую воображаемую поверхность S, называет­ся потоком жидкости через эту поверхность. Чтобы найти поток, разобьем поверхность на элементарные участки величины ΔS. Из рис.11.1 видно, что за время Δt через участок ΔS пройдет объем жидкости, равный

V=S соsα ·υt

Разделив этот объем на промежуток времени Δt, найдем поток че­рез поверхность ΔS:

Ф = V/t= S υ cosα.

Перейдя к дифференциалам, получим, что

. (11.3)

Формулу (11.3) можно написать еще двумя способами. Во-первых, если учесть, что v cos дает проекцию вектора скорости на нор­маль n к площадке dS, можно представить (11.3) в виде

(11.4)

Во-вторых, можно ввести вектор , модуль которого равен величине площадки dS, а направление совпадает с направлением нормали к площадке :

Поскольку выбор направления вектора условен (его можно направить как в одну сторону от пло­щадки, так и в другую), dS является не истинным вектором, а псевдовектором. Угол в формуле (11.3) есть угол между вектора­ми и . Следовательно, эту формулу можно написать и виде

(11.5).

Просуммировав потоки через все элементарные площадки, на которые мы разбили поверхность S, получим поток жидкости через S:

(11.б)

(обозначения для замкнутой поверхности, охватывающей некоторый объем пространства)

Аналогичное выражение, написанное для произвольного вектор­ного поля ,

т. е. величина

(11,7)

(обозначения для незамкнутой поверхности)

называется потоком вектора через поверхность S. В соответствии с этим определением поток жидкости может быть назван потоком вектора через соответствующую поверхность (см. (11.6)).

Поток вектора есть алгебраическая величина, причем знак его зависит от выбора направления нормали к элементарным площад­кам, на которые разбивается поверхность S при вычислении по­тока. Изменение направления нормали на противоположное изме­няет знак y a_n, а следовательно, и знак величины (11.7). В случае замкнутых поверхностей принято вычислять поток, «вытекающий» из охватываемой поверхностью области наружу. Соответственно в качестве в дальнейшем будет всегда подразумеваться обра­щенная наружу (т. е. внешняя) нормаль.

Потоку вектора можно дать наглядную геометрическую интер­претацию. Для этого представим векторное поле системой линий а, построенных так, чтобы густота линий в каждом месте была чис­ленно равна модулю вектора в той же точке поля (ср. с правилом построения линий вектора Е, изложенным в конце § 5) Найдем число ΔN пересечений линий поля с воображаемой площадкой ΔS. Из рис. 11.2 видно, что это число равно густоте линий (т. е, α), умноженной на ΔS_L = ΔScosα:

Речь идет лишь о числовом равенстве между ΔN и α_nΔS. Поэтому знак равенства заключен в скобки. Согласно (11.7) выражение α_nΔS представляет собой ΔФ_α – поток вектора через площадку ΔS. Таким образом.

(11.8)

Для того чтобы знак ΔN совпал со знаком ΔФ_α, нужно пересе­чения, при которых угол а. между положительным направлением линии поля и нормалью к площадке является острым, считать положительным. В случае же, если угол α тупой, пересечение нужно считать отрицательным. Для изображенной на рис. 11.2 площадки все три пересечения являются положительными: ΔN = +3 (ΔФ_α в этом случае также положителен, поскольку а_n > 0). Если направ­ление нормали на рис. 11.2 изменить на обратное, пересечения ста­нут отрицательными (ΔN = -3), поток ΔФ_α также будет отрица­тельным.

Просуммировав выражение (11.8) по конечной воображаемой поверхности S, получим соотношение

(11.9)

где под N₊ подразумевается полное число положительных пересе­чений линий поля с поверхностью S, а под N_- - полное число от­рицательных пересечений.