Тема 5. Диференціальні рівняння руху рідини та рівняння д. Бернуллі

Диференціальні рівняння руху рідини (рівняння Л. Ейлера). Рівняння Д.Бернуллі для елементарного струмка ідеальної рідини і газу. Енергетичний і гідравлічний зміст рівняння Бернуллі. Рівняння Бернуллі для потоку реальної рідини. Застосування рівняння Бернуллі для практичних цілей. Поняття про втрати напору, гідравлічного і п’єзометричого ухилах. Потужність потоку.

Література: [3], 54—64, 78—93; [6], 71—79, 82—85, 87—90; [11], 91 — 110; [12], 109—140; [15], 88—91, 99—117.

Методичні вказівки

Рівняння Бернуллі є основним рівнянням гідравліки, на базі якого виводяться розрахункові формули для різних випадків руху рідини і зважуються багато практичних задач, тому його вивченню повинне бути приділена особлива увага. Насамперед варто проробити і засвоїти висновок рівняння Бернуллі для елементарного струмка нев'язкої рідини, а також усвідомити енергетичний і гідравлічний змісти цього рівняння. При переході від елементарного струмка нев'язкої рідини до потоку реальної рідини в рівняння Бернуллі, отримане для елементарного струмка нев'язкої рідини, унаслідок в'язкості реальної рідини і нерівномірного розподілу швидкостей по перетині потоку повинні бути введені два виправлення: коефіцієнт Коріоліса , що враховує вплив нерівномірного розподілу швидкостей по перетині на кінетичну енергію потоку в даному перетині, і Н_пот - член, що враховує втрати напору на ділянці між обраними перетинами. При рішенні практичних задач у випадку рівномірного руху коефіцієнт , можна приймати: при турбулентному режимі , при ламінарному режимі =2. Більш докладно режими руху рідини і втрати напору розглядаються в наступній темі.

Особливу увагу варто приділити застосуванню рівняння Бернуллі для рішення практичних задач. Звичайно для рішення задачі на схемі потоку проводять два живих перетини і площина порівняння — горизонтальну площину, щодо якої порівнюються запаси питомої енергії в обраних перетинах. Площина порівняння може бути проведена в будь-якім місці, однак зручніше проводити її через центр ваги одного з перетинів, тому що в цьому випадку z₁ чи z₂ буде дорівнює нулю. Перетин проводять нормально напрямку руху рідини, а місця їхнього проведення вибирають так, щоб перетину були плоскими, а також, щоб в одному з них були відомі усі величини, що входять у рівняння Бернуллі (v, р, z), а в іншому — одна невідома, але шукана величина. Звичайно такими місцями є вільна поверхня рідини, вихід із трубопроводу, місця підключення вимірювальних приладів і ін. Перетин рекомендується нумерувати по ходу руху рідини, тому що в цьому випадку член, що враховує втрати напору, буде завжди знаходитися в правій частині рівняння Бернуллі і мати знак « + ». Для обраних перетинів записується рівняння Бернуллі, у нього підставляються числові значення відомих величин і обчислюється шукана величина.

У тих випадках, коли не удається вибрати два перетини таким чином, щоб у рівнянні Бернуллі була, тільки одна невідома величина, приходиться проводити більш двох перетинів чи використовувати додатково одне з розглянутих раніше рівнянь (звичайно цим рівнянням є рівняння нерозривності потоку).

Необхідно пам'ятати, що для рідин, щільність яких змінна уздовж потоку, у рівняння Бернуллі повинні підставлятися тільки абсолютні тиски; для рідин з постійною щільністю можна підставляти і надлишкові тиски, однак, оскільки в одному з перетинів може виявитися вакуум, то щоб уникнути помилок у цих випадках рекомендується також підставляти абсолютні тиски, тобто р = р_а + р_м чи р = р_а — р_в.

Приклад 1. Визначити геометричну висоту усмоктування насоса (відстань від осі насоса до вільної поверхні води в колодязі) Н_вс якщо діаметр

усмоктувального трубопроводу d = 200 мм, , подача насоса (рівна витраті води по трубопроводу) Q = 223 м³ /година, показання вакуумметра h_в = 515 мм рт. ст., утрати напору в усмоктувальному трубопроводі Н_пот = 2,8 м.

Проведемо два перетини: 1 — по вільній поверхні води в колодязі, II — по трубопроводу в місці підключення вакуумметра, і площина порівняння — по осі насоса (слід її на кресленні — лінія 00).

Запишемо рівняння Бернуллі для двох перетинів потоку реальної рідини:

У розглянутому випадку:

швидкість води в трубопроводі відповідно до рівняння витрати

швидкістю води в I перетині можна зневажити ( ), тому що її величина в порівнянні зі швидкістю води в трубопроводі дуже мала (якщо врахувати, що діаметр колодязя, як мінімум, у 4—5 разів більше d_тр-да, то

тому що швидкість входить у рівняння Бернуллі в квадраті, тобто Н_ск1 = 0,0016 ·Н_ск2);

абсолютні тиски в перетинах:

р₁ = р_а, р₂=р_а -р_в,

де р_а = = 13600 · 9,81 · 0,515 = 68,7·10³ н/м²;

відстані центрів ваги перетинів від прийнятої площини порівняння:

z₁ = -H_вс, z₂ = 0 (знак - у першому випадку поставлений тому, що центр ваги I перетину знаходиться нижче прийнятої площини порівняння;

коефіцієнт Коріоліса може бути прийнятий рівним одиниці, тому що при русі води в трубах зі звичайними швидкостями має місце турбулентний режим руху (докладніше про це див. у матеріалі теми 6).

Звичайно усе викладене вище записують скорочено, як показано в таблиці:

			р	z
I	-	0	ра	-Нвс
II	1	4·Q/ ·d2	ра - рв	0

Таким чином,

Звідки

Приклад 2. Визначити витрати повітря по трубопроводу Q(м³/сек), якщо показання U-образного дифманометра h = 200 мм вод. ст., діаметри труб D = 500 мм і d=300 мм, щільність повітря р= 1,2кг/м³. Утратами напору зневажити.

П роведемо два перетини (I і II) по трубопроводу в місцях підключення дифманометра, а площина порівняння— по осі трубопроводу (слід її на кресленні — лінія ОО).

Запишемо рівняння Бернуллі для двох перетинів потоку реальної рідини.

Тому що в цьому рівнянні мається дві невідомих величини (v₁ і v₂), скористаємося також рівняннями нерозривності потоку і витрати

За умовою р₁-р₂ = Δр = 1960 н/м², а h_пот = 0, z₁ і z₂ дорівнюють нулю, тому що центри ваги перетинів знаходяться на площині порівняння; коефіцієнти Коріоліса і приймаємо рівними одиниці, тому що при русі повітря по трубах (як і при русі води) має звичайне місце турбулентний режим руху.

Таким чином,

або

звідки