Тема 3. Сила тиску рідини на стінки. Закон архімеда

Тиск рідини на дно судини. Сила тиску рідини на плоскі стінки. Центр тиску. Сила тиску рідини на криволінійні стінки. Поняття про тіло тиску. Закон Архімеда і його застосування в техніку. Умови плавання тел.

Література: [3], 33—42; [6], 34—48; [11], 66—81; [12], 66—77; [15], 51— 64.

Методичні вказівки

Після розгляду загального випадку тиску рідини на плоскі стінки варто розглянути також окремий випадок: визначення сили тиску і центра тиску для стінки прямокутної форми. Розглядаючи епюри тиску на плоскі стінки, корисно згадати про застосування епюр навантаження в задачах за курсом опору матеріалів.

При вивченні питання про силу тиску на криволінійні стінки потрібно звернути увагу на те, що елементарні сили тиску, що діють нормально на кожну елементарну площадку стінки, мають різні напрямки. Для спрощення перебування повної сили тиску (щоб уникнути застосування криволінійних інтегралів) приходиться визначати спочатку складові сили тиску по заданих напрямках (звичайно прямокутним осям координат), а потім уже геометричним їх додаванням знаходити повну силу тиску на криволінійну стінку.

Варто засвоїти метод визначення горизонтальної і вертикальної складових цієї сили, звернувши особливу увагу на правило перебування тіла тиску. Для цього можна скористатися наступним визначенням: тіло тиску — це обсяг, обмежений розглянутою криволінійною стінкою, змоченою рідиною, вертикальною поверхнею, проведеною через контур цієї стінки, і горизонтальною площиною, проведеною по вільній поверхні рідини. Треба також розглянути поняття про реальний (позитивний) і фіктивний (негативний) тіла тиску.

П риклад. 1. Визначити мінімальну масу m (кг) вантажу, здатного удержати прямокутний щит у закритому положенні при рівні води в каналі Н = 5 м, якщо розміри щита h = 3 м, b = 2 м, довжина важеля, на якому укріплений вантаж, l = 3 м. Щит може повертатися навколо шарніра О. Над шарніром знаходяться нерухомі балки, кінці яких забиті в бічні стінки каналу.

Сила ваги мінімального вантажу Q, може бути знайдена з рівняння моментів, складеного щодо крапки О:

де Р = gh_cF — сила тиску води на щит;

D_O = h_д — К_О=h_д — (Н — h) — плече сили Р;

F = b · h = 2 · 3 = 6 м² -площа щита;

h_c = Н – h/2 = 5 - 3/2 = 3.5 м - відстань центру ваги щита від вільної поверхні води;

h_д = h_c + I₀/h_c · F - відстань центру тиску (крапки додатку сили тиску води на щит D); від вільної поверхні;

I₀ = b·h³/12 = 2·3³/12 = 4,5 м⁴ - момент інерції щита щодо горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

h_д = 3,5 + 4,5/(3,5·6) = 3,71 м

D_O = 3,71- (5 — 3)= 1,71 м

і Р = 1000 · 9,81 · 3,5 · 6 = 206 · 10³ н;

тоді Q = 206 · 10³ · 1.71 / 3 = 128 ·10³ н,

і m = Q / g = 128 10³ / 9.81 = 12000 кг

П риклад 2. Визначити зусилля Q(н), яке потрібно прикласти до кульового клапана для того, щоб підняти його із сідла, якщо маса клапана m = 500 м, радіус клапана R = 40 мм, а висота рівня бензину в баці Н=1 м. Відносна щільність бензину 0,715.

З боку бензину на клапан діє сила тиску, що може бути знайдена по формулі:

де Р_х і Р_z— відповідно горизонтальна і вертикальна складові сили тиску бензину на виступаючу в рідину поверхня клапана (половину сфери радіуса R)

Тому що виступаюча в рідину поверхня клапана симетрична щодо вертикальної площини, що проходить через центр кулі, то горизонтальна складова сили тиску Р_х=Р'_х — Р"_х = 0, отже, Р = Р_z..

Вертикальна складова сили тиску рідини на криволінійну стінку дорівнює силі ваги рідини в обсязі тіла тиску

Р_z =

У розглянутому випадку обсяг тіла тиску (відповідно до приведеного вище визначенням) дорівнює різниці обсягів циліндра висотою Н и радіуса R і півсфери радіуса R (див. заштрихований обсяг), тобто

V=V_ц - ½·V_ш=

Щільність бензину =0,715·1000 = 715 кг/м³.

Тоді Р_z = 715 · 9,81 · 4,9 · 10^-3 = 34,3 Н.

Спроектуємо всі діючі на клапан сили на вертикальну вісь:

— Р₂ — G + Q = 0, де G = m·g = 0,5 · 9,81 = 4,9 Н.

Т оді Q = Р_z +G=34,3 + 4,9 = 39,2 Н.

Приклад 3. Понтон, що має форму паралелепіпеда, з розмірами: довжина L = 4 м, ширина В = 2 м, висота Н = 0,7 м і масою m₀= 800 кг, плаває у воді. Визначити:

а) осаду (глибину занурення) понтона без навантаження h' (мм);

б) граничну вантажопідйомність понтона m (кг) при висоті його бортів над ватерлінією е = 200 мм.

а) Понтон, що плаває у воді, знаходиться в рівновазі під дією сили ваги G_о й архімедової сили Р', отже,

- G₀ + Р' = 0 чи Р' = G₀ = m_оg.

Відповідно до закону Архімеда

P^/ =

Тоді

б) Навантажений понтон знаходиться в рівновазі під дією сил ваги вантажу Q і понтона G_о й архімедової сили Р", отже,

— Q — G₀ + Р" = 0, або Q = P" — G₀.

Відповідно до закону Архімеда

Р"=

Тоді Q = 39200 – 800·9.81=31.3·10³ н