2. Задача с параллельной обработкой изделий

Задача с параллельной обработкой обычно формулируется следующим образом. Предприятие располагает m типами взаимозаменяемого оборудования, на котором может выпускаться n видов изделий. Длительность изготовления изделия i-го вида (i=1,...,n) на j-ом типе оборудования (j=1,...,m) составляет a_ij единиц времени. Фонд рабочего времени оборудования составляет b_j единиц времени. Известна производственная программа предприятия, в соответствии с которой предприятие должно произвести не менее d*_i и не более d**_i изделий i-го вида. Изготовление изделия i-го вида на оборудовании j-го типа требует от предприятия затрат в объеме g_ij единиц. Необходимо составить такой план загрузки оборудования, при котором суммарные затраты были бы минимальными.

В данной задаче для изготовления каждого изделия требуется один из типов оборудования и в отличие от предыдущей задачи маршрут изготовления изделий заранее неизвестен. Математическая модель задачи будет иметь следующий вид. Искомыми неизвестными являются y_ij – продолжительность работы оборудования j-го типа по изготовлению изделий i-го вида. Для определения объёмов производства изделий на каждом типе оборудования x_ij необходимо выполнить следующие вычисления:

Критерием оптимальности будет минимизация затрат на изготовление продукции.

Если известна отпускная цена выпускаемых изделий c_i, то более корректным будет выбор в качестве критерия оптимальности максимизации прибыли предприятия.

Решение задачи должно удовлетворять следующим ограничениям:

1. на фонд рабочего времени оборудования

2. на объем выпуска продукции на всем оборудовании

3. на неотрицательность переменных

3. Задача со смешанной обработкой изделий

Однако на подавляющем большинстве предприятий для производства изделий требуется несколько последовательных операций, выполняемых на разнотипных группах оборудования. Каждая группа обычно содержит несколько взаимозаменяемых единиц оборудования. К примеру, в цехе холодной прокатки для производства автолиста используются травильные агрегаты, колпаковые печи, агрегаты резки и т.д., причем травильных агрегатов два, колпаковых печей несколько десятков, агрегатов резки около десяти.

Для таких предприятий наиболее подходящей является смешанная задача, которую можно сформулировать следующим образом. Предприятие производит n видов изделий. Для производства i-го вида изделия требуется m_i групп оборудования. Каждая j-ая группа оборудования состоит из l_j типов взаимозаменяемого оборудования. Длительность обработки i-го изделия на оборудовании k-го типа из j-ой группы составляет a_ijk единиц времени (i=1,...,n; j=1,...,m_i; k=1,...,l_j). Фонд рабочего времени оборудования k-го типа из j-ой группы составляет b_jk. Обработка изделия i-го вида на оборудовании k-го типа из j-ой группы требует от предприятия затрат в объеме g_ijk единиц. Отпускная цена выпускаемых изделий c_i. Необходимо составить такой план загрузки оборудования, при котором суммарная прибыль будет максимальной.

Математическую модель задачи построим следующим образом. Обозначим за x_ijk – количество изделий i-го типа, прошедших обработку на k-ом типе оборудования j-ой группы. План загрузки оборудования определяется как:

где z_ijk – длительность работы оборудования k-го типа из j-ой группы по обработке изделий i-го вида.

Так как производственная программа предприятия неизвестна, введем переменную y_i, которая будет обозначать оптимальный выпуск изделий i-го вида.

Дальнейшие построения необходимо проводить для двух случаев: отсутствия или наличия незавершенного производства, т.е. образования некоторого запаса полуфабрикатов после отдельных операций. Если незавершенное производство отсутствует, тогда критерий оптимальности в виде максимизации прибыли можно записать:

или

Решение задачи должно удовлетворять следующим ограничениям:

1. на фонд рабочего времени оборудования

2. на отсутствие незавершенного производства

3. на объем выпускаемой продукции

4. на неотрицательность переменных

Вслучае наличия незавершенного производства критерий оптимальности можно записать в виде (2.4), а группу ограничений (2.5) в виде неравенства:

Предложенные математические модели являются довольно сложными, имеют большое количество переменных и ограничений. Для упрощения вычислений можно решить эту задачу в два этапа.

На первом этапе решается задача с последовательной обработкой и определяется оптимальный объем выпуска продукцииy_i. Математическая модель этой задачи имеет следующий вид:

На переменные наложены следующие ограничения:

1.

2.

3.

Здесьg_ij и a_ij – приведенные значения затрат и длительности обработки изделия i-го вида на j-ой группе оборудования, которые определяются по следующим формулам:

Однако так какb_ijk заранее неизвестны, то расчеты по данным формулам можно заменить расчетами по более простым приближенным формулам:

Или, что аналогично:

На втором этапе решается max{m_i} задач с параллельной обработкой и определяется x_ijk и продолжительность работы оборудования z_ijk (i =1,…n; j = 1,…,m_i; k = 1,…l_j).

Математическую модель задачи для конкретной j-ой группы оборудования можно записать следующим образом:

При ограничениях:

1.

2.

3.

Необходимо отметить, что обычно учитывается возможность образования незавершенного производства (2.6). Для решения всех описанных задач из-за линейности их математических моделей обычно применяются методы линейного программирования, например, модифицированный симплекс-метод. Возможно также применение динамического программирования.