8

Тема 3. Информационно-логические основы построения эвм лекция 3.1. Позиционные системы счисления

1. Основные понятия систем счисления

Вся информация в ЭВМ представляется в виде чисел. Выразив эти числа в какой-либо системе счисления, можно получить код, основанный на данной системе счисления. Для понимания способов представления информации в ЭВМ необходимо изучить позиционные системы счисления.

Совокупность приемов и правил представления чисел с помощью цифровых знаков называется системой счисления.

В зависимости от способа изображения чисел системы счисления делятся на 2 типа:

• непозиционные;

• позиционные.

В непозиционных системах счисления значение любой цифры не зависит от занимаемой ею позиции в числе. Например, римская система, в которой в числе XXX каждый разряд означает 10 единиц (L – 50, C – 100, D – 500, М – 1000). В непозиционных системах счисления не представляются дробные и отрицательные числа, действия над числами связаны с большими трудностями и не имеют правил.

В позиционных системах счисления значение любой цифры в числе зависит от ее положения (позиции) в ряду цифр, изображающих это число.

Основным понятием любой позиционной системы счисления является основание. Оно показывает:

1. сколько различных цифр в системе счисления;

2. во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию.

В зависимости от основания различают следующие системы счисления:

• десятичную (Dec)(0, 1, 2, 3,…, 9);

• восьмеричную (Oct)(0, 1, 2,…, 7);

• двоичную (Bin) (0, 1);

• шестнадцатеричную (Hex) (0, 1,…, 9, A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15)).

В древнем Вавилоне использовали систему счисления с основанием 60. Деление часа на 60 минут, а минуты на 60 секунд заимствовано именно из этой системы.

2. Представление целых неотрицательных чисел

Любое целое неотрицательное число, записанное в позиционной системе счисления:

можно представить в виде степенного ряда (полинома):

ЗдесьQ_m – число в m - й системе счисления, m – основание системы счисления, l – количество разрядов целого числа, i – номер разряда данного числа, a_i – цифра числа, записанного в m – й системе счисления, принимающая любые значения от 0 до (m-1) и показывающая, сколько единиц i- го разряда содержится в числе, m^i-1 – вес i-того разряда.

Максимальное целое число, которое может быть представлено в l разрядах:

Q_maх=m^l -1

Имея l разрядов, можно записать всего m^l разных чисел.

Каждое слагаемое в приведенном выражении называется термом. Крайняя правая цифра любого числа называется его младшим или наименьшим (a₁) значащим разрядом (МЗР), крайняя левая – старшим или наибольшим (a_l) значащим разрядом (СЗР).

Кроме полиномиальной записи используется еще одна форма записи, которая называется схемой Горнера.

Эта форма используется при переводе чисел из одной системы счисления в другую.

В ЭВМ для представления информации (данных) используется двоичная система счисления. Ее достоинства:

• используется только 2 символа (цифры) 0 и 1, что хорошо согласуется с техническими характеристиками цифровых схем, имеющих, как правило, 2 устойчивых состояния;

• в двоичной системе легко реализуются арифметические операции над числами:

0+0=0

00=0

1+0=1

10=0

0+1=1

01=0

1+1=10

11=1

Недостаток: длинные числа, которые неудобно записывать. Двоичное представление числа требует примерно в 3.3 раза большего числа разрядов, чем его десятичное представление.

Двоичная цифра называется битом.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы употребляются при общении с ЭВМ как промежуточные именно для сокращения записи двоичных чисел.