3. Аналіз електричного стану трифазного кола.

ЕРС, що утворюються в трьохфазному генераторі будуть однакові за амплітудним значенням і частоті, але зсунуті за фазою відносно одна одної на 1/3 періоду. Виводи початків обмоток трифазного генератора прийнято позначати буквами А, В, С. Маркіровка виводів виконується з таким розрахунком, щоб індуковані в обмотках ЕРС E_A, E_B, E_C відставали на третину періоду E_B від E_A, E_C від E_B.

Беручи за початок відліку момент часу, коли ЕРС е_А в обмотці А дорівнює нулю і змінює свої значення з від’ємних на додатні, можна записати такі вирази:

е_А = Е_m sin  t;

е_B = Е_m sin ( t – 120);

е_C = Е_m sin ( t – 240) = Е_m sin ( t + 120).

Графіки цих ЕРС мають вид:

П ри символічній формі запису, якщо ЕРС фази А дорівнює , то ЕРС фаз В і С відповідно складають:

Векторна діаграма для амплітудних значень ЕРС буде уявляти собою симетричну трипроменеву зірку. Для такої системи справедливе співвідношення . Таке ж співвідношення справедливе і для діючих значень .

Д ійсно, з діаграми видно, що геометрична сума трьох векторів, рівних за величиною і зсунутих за фазою на третину періоду (120) дорівнює нулю. Сума миттєвих значень ЕРС трифазного генератора в будь–який момент часу також дорівнює нулю е_А + е_В + е_С = 0.

Якщо об’єднати кінці обмоток генератора в спільну точку О, а кінцеві зажими навантажень в спільну точку О, то для з’єднання генератора і трьох навантажень потрібно буде чотири проводи.

Точки О, О’ називають відповідно нульовою (або нейтральною) точкою генератора і нульовою (нейтральною) точкою навантаження.

Проводи А–А, В–В, С–С називають лінійними, а провод О–О’ – нульовим або нейтральним. Отримана схема має назву чотирипроводна система трифазного струму, або з’єднання зіркою з нульовим проводом.

Напруга між лінійним проводом і нульовим має назву фазна напруга і позначається U_A, U_B, U_C.

Напруга між лінійними проводами називається лінійною напругою і позначається U_AВ, U_BС, U_СА.

До навантажень Z_A, Z_B, Z_C прикладені фазні напруги.

В трифазних колах розрізняють лінійні І_л і фазні І_Ф струми.

Лінійними називають струми І_А, І_В, І_С, що протікають по лінійних проводах.

Струми, що протікають по обмотках генератора, або по опорах навантаження називають фазними.

При з’єднанні зіркою лінійний струм рівний фазному І_л = І_Ф.

Струм, що протікає по нульовому проводі, позначають І_N.

Для чотирипроводної системи:

Застосувавши до нульової точки О’ перший закон Кірхгофа і прийнявши позначені на схемі додатні напрямки струмів отримаємо:

або

т обто струм в нульовому проводі визначається сумуванням лінійних струмів в комплексній формі, або геометричним сумуванням векторів І_А, І_В, І_С.

На малюнку стрілками показані додатні напрямки фазних напруг на опорах навантаження. Миттєва напруга, наприклад напруга u_AB, між лінійними проводами А і В дорівнює алгебраїчній сумі миттєвих напруг на дільниці кола між точками А і В: u_AB = u_A + (–u_B)

В цьому виразі напругу u_B взято із знаком “–“ оскільки напрям дії цієї напруги протилежний прийнятому напряму обходу кола від точки А до точки В.

Теж саме в діючих значеннях:

.

Аналогічно для лінійних напруг: і :

Векторна діаграма напруг матиме вид:

З діаграми видно, що всі три лінійні напруги рівні між собою за величиною і зсунуті по фазі відносно одна одної на 120.

З трикутника OMN маємо:

OM = 2OD = 2ONcos 30 = ON.

Оскільки ОМ = U_AB = U_л; ON = U_A = U_Ф, то U_л =  U_Ф, тобто лінійна напруга при з’єднанні зіркою в разів більша за фазну.

В трифазних установках навантаження окремих фаз прагнуть зробити більш-менш однаковим. При цьому струм в нульовому проводі виявляється меншим кожного з лінійних струмів. Виходячи з цього перетин нульового проводу приймають рівним приблизно половині перетину лінійного проводу.

Потужність трифазного кола при з’єднанні зіркою. Активні і реактивні потужності в кожній з фаз трифазної системи можна знайти за формулами:

P_A = U_A I_A cos _A P_B = U_B I_B cos _B P_C = U_C I_C cos _C

Q_A = U_A I_A sin _A Q_B = U_B I_B sin _B Q_C = U_C I_C sin _C

Загальна потужність трифазної системи (активна і реактивна) визначається сумою потужностей окремих фаз: P = P_A + P_B + P_C; Q = Q_A + Q_B + Q_C.

При симетричному навантаженні: P_A = P_B = P_C = P_ф; Q_A = Q_B = Q_C = Q_ф; _A = _B = _C = . Тоді:

P = 3P_ф = 3 U_ф I_ф cos ; Q = 3Q_ф = 3 U_ф I_ф sin  ; S = 3U_ф I_ф.

Ці формули визначають потужність трифазної системи через фазні струми і напруги.

Іноді буває зручніше вираховувати потужність через лінійні величини струмів і напруг. Враховуючи, що при з’єднанні зіркою І_л = І_Ф і U_л = U_Ф, отримаємо

P =  U_л I_л cos 

Q =  U_л I_л sin 

S = U_л I_л

Т рипровідна система. При симетричному (рівномірному) навантаженні фаз, тобто, коли опори навантажень однакові Z_A = Z_B = Z_C вектори струмів в усіх фазах рівні за величиною і зсунуті відносно своїх напруг на один і той же кут .

Векторна діаграма в цьому випадку має вид:

Сума лінійних струмів дорівнює нулю, а отже струм в нульовому проводі відсутній (І_N = 0).

При симетричному навантаженні відпадає необхідність в нульовому проводі і передачу енергії від генератора до споживачів можна здійснювати по трьом проводам.

Схема трипровідної передачі має вид, наведений нижче.

Електричні мережі виконуються трипровідними тільки для живлення таких споживачів, кожний з яких створює симетричне навантаження всіх трьох фаз.

Напруги між лінійними проводами практично залишається рівними за величиною (U_AВ = U_BС = U_СА) і взаємно зсунуті по фазі на 120 як при симетричному так і при несиметричному навантаженні фаз. Фазні ж напруги в трипровідній мережі однакові за величиною тільки у випадку симетричного навантаження фаз.

Якщо в цій мережі через будь-які обставини порушується рівномірність навантаження окремих фаз, то напруга між нульовою точкою навантаження і лінійними проводами, тобто фазні напруги споживачів U_A, U_B, U_C будуть неоднакові. У зв’язку з цим встановлене раніше співвідношення U_л =  U_Ф для трипровідної системи справедливе тільки при симетричному навантаженні фаз.

При симетричному навантаженні фаз (Z_A = Z_B = Z_C = Z) розрахунок трифазного кола зводиться до розрахунку однофазного кола.

За заданим U_л визначають фазну напругу U_ф = U_л / , а потім за відомим опором навантаження Z визначають струм в проводах живлення . Зсув фаз між струмом і фазною напругою визначають за формулою cos  = R / Z.

М етодика розрахунку з використанням комплексних чисел. При значній нерівномірності навантаження окремих фаз і особливо при відсутності нульового проводу симетрія напруг у споживачів порушується. В таких випадках, коли розрахунок трифазної системи не можна звести до розрахунку кіл окремих фаз з однаковими за величиною напругами, використовують символічний метод. Розглянемо схему чотирипровідної системи з урахуванням опорів проводів:

Чотирипровідну систему можна розглядати як складне коло з двома вузлами О і О’ і для розрахунку застосувати метод вузлових напруг.

Позначимо:

– фазні напруги на клемах генератора;

– фазні напруги на клемах навантаження;

– повні опори окремих фаз, включаючи опори лінійних проводів;

– повні провідності окремих фаз;

– опір нульового проводу;

– провідність нульового проводу.

Вважаємо, що вузловий потенціал в вузлі О дорівнює нулю. Тоді рівняння для вузла О', складене за методом вузлових напруг буде мати вид:

Вузлова напруга, тобто напруга між нульовою точкою навантаження О’ і нульовою точкою генератора О, визначається за формулою:

Далі, за методом вузлових напруг визначаються струми в вітках, тобто струми в нульовому і лінійних проводах:

Напруги на опорах навантаження:

Нехтуючи опором лінійних проводів за попередніми формулами отримуємо співвідношення між фазними напругами генератора і навантаження:

Нагадуємо, що при симетричному навантаженні напруга U_N між нульовими точками генератора і навантаження дорівнює нулю, оскільки діючі напруги U_А, U_В, U_С на клемах навантаження рівні за величиною і зсунуті по фазі на третину періоду.

Приклад. В 4–провідну мережу 3–фазного струму з лінійною напругою U_л = 220 в включені зіркою три групи ламп з опором R_А = 10 Ом, R_В = 5 Ом, R_С = 7,5 Ом. Визначити фактичні напруги на клемах ламп, що включені в фази А, В, С при обриві нульового проводу.

Розв’язання:

Оскільки опір лінійних проводів малий в порівнянні з опором ламп, можна вважати Z_A  R_А = 10 Ом; Z_B  R_В = 5 Ом; Z_С  R_С = 7,5 Ом.

Нехай вектор спрямований по дійсній осі. Тоді для фазних напруг джерела можна записати :

провідність окремих фаз:

При відсутності нульового проводу .

Напруга між точками О і О’:

Фазні напруги на клемах навантаження:

Напруги U_A' і U_В' на менш завантажених фазах перевищують номінальну напругу ламп, тому лампи, включені в фази А і С, можуть швидко перегоріти.

Векторна діаграма має вид:

Вихідна точка О відповідає нульовій точці генератора, а кінці векторів – точкам А, В, С кола. Від точки О відкладаємо вектор , кінець якого О' відповідає нульовій точці О' навантаження. Відрізки, що з’єднують на діаграмі точку О' з кінцями векторів уявляють собою вектори напруг . Вектори зображують лінійні напруги кола.

При симетричному навантаженні точка О' співпадає на діаграмі з початком векторів О. При порушенні симетрії навантаження точка О' зміщується відносно початку векторів О. Це явище має назву зміщення нейтралі.

Опір нульового проводу, як правило в багато разів менше опору навантаження будь–якої з фаз, тобто провідність нульового проводу y_N значно перевищує провідність окремих фаз y_А, y_В, y_С. Це означає, що при наявності нульового проводу величина зменшується в кілька разів, і фазні напруги в цих умовах утворюють трифазну систему, достатньо близьку до симетричної.

З ’єднання споживачів за схемою “трикутник”. Якщо в мережу трифазного струму між кожною парою лінійних проводів А–В, В–С, С–А включити три опори Z_AB, Z_BC, Z_CA, то під дією лінійних напруг в кожному з цих опорів буде протікати струм. Такий спосіб включення навантажень в трифазну мережу має назву включення трикутником.

При з’єднанні навантажень “трикутником” по їх опорам протікають струми I_AB, I_ВC, I_CA. Ці струми називають фазними. Струми I_A, I_В, I_C, що протікають в лінійних проводах мережі називають лінійними. Показані на малюнку напрямки струмів є загальноприйнятими позитивними напрямками.

Напруга, що прикладена до опорів навантажень Z_AB, Z_BC, Z_CA прийнято називати фазними напругами U_ф. В наведеній схемі фазна напруга дорівнює напрузі між лінійними проводами, тобто лінійній напрузі U_л. Тому при з’єднанні “трикутником” U_л = U_ф .

Вибір схеми з’єднання споживачів вирішується в залежності від величини лінійної напруги мережі і номінальної напруги споживачів. В трифазних установках можливі випадки, коли одна частина споживачів з’єднана “зіркою”, а інша – “трикутником”.

З’єднання обмоток генератора за схемою “трикутник”. З’єднання “трикутником” – це коли початок кожної фазної обмотки з’єднується з кінцем наступної по порядку фазної обмотки так, що всі три обмотки утворюють замкнутий контур. В цьому контурі напрямки фазних ЕРС е_АВ, е_ВС, е_СА співпадають.

Д о клем А, В, С приєднується трифазна мережа, що живить навантаження. Лінійні напруги між кожною парою клем дорівнює фазній напрузі джерела (U_л = U_ф).

При відсутності навантаження струм в контурі генератора АВСА не виникає, оскільки результуюча (сумарна) ЕРС в контурі в будь–який момент часу дорівнює нулю (е_АВ + е_ВС + е_СА = 0).

Звичайно, обмотки електромашинних генераторів з’єднують зіркою. Обмотки трифазних трансформаторів, від яких живляться споживачі, прийнято з’єднувати як “зіркою”, так і “трикутником”.

Фазні і лінійні струми при з’єднанні “трикутником”. При заданій величині лінійної напруги U_л = U_ф, відомих значеннях опорів навантаження можна розрахувати фазні струми і коефіцієнти потужності окремих фаз:

Для встановлення співвідношень між лінійними і фазними струмами складаються рівняння за першим законом Кірхгофа для точок розгалуження А, В, С, враховуючи вибрані додатні напрямки струмів:

Звідки

З отриманих виразів випливає, що кожний вектор лінійного струму дорівнює різниці векторів відповідних фазних струмів.

В екторна діаграма напруг , фазних струмів і лінійних струмів має вид:

Складаючи праві і ліві частини рівнянь (1) отримаємо , тобто сума лінійних струмів дорівнює нулю як при симетричному, так і при несиметричному навантаженні.

При симетричному навантаженні ;  _AB =  _BC =  _CA = .

В цьому випадку лінійні струми рівні між собою і утворюють правильну трипроменеву зірку. Із рівнобедреного трикутника OMN можна знайти співвідношення між величинами лінійного і фазного струмів. При симетричному навантаженні .

Потужність трифазного кола при з’єднанні навантажень “трикутником”. В цьому випадку потужність визначається за тими же формулами, що і при з’єднані “зіркою”.

Потужність окремих фаз:

P_AB = U_ABI_ABcos_AB;

Q_AB = U_ABI_ABsin_AB;

P_BC = U_BCI_BCcos_BC;

Q_BC = U_BCI_BCsin_BC;

P_CA = U_CAI_CAcos_CA;

Q_CA = U_CAI_CAsin_CA.

Загальна потужність трифазної системи визначається сумою потужностей окремих фаз

Р = P_AB + P_BC + P_CA

Q = Q_AB + Q_BC + Q_CA

При симетричному навантаженні потужності окремих фаз рівні між собою, отже

Р = 3Р_ф = 3 U_фI_фcos  ; Q = 3Q_ф = 3 U_фI_ф sin  ; S = 3 U_фI_ф

Враховуючи, що при з’єднанні “трикутником” U_л = U_ф і , можна отримати вирази потужностей через величини лінійних струму і напруги:

Р =  U_лI_лcos 

Q =  U_лI_л sin 

S =  U_лI_л

На практиці буває необхідно переключити опори навантаження із схеми “трикутник” на схему “зірка”, наприклад, переключення трифазних електропечей з метою регулювання їх потужності, а, відповідно і температури. Потужність, що споживається при з’єднанні “трикутником”, буде при тій же напрузі мережі в тричі більшою за потужність, що споживається цими ж опорами при з’єднанні “зіркою”. Дійсно, при з’єднанні “зіркою”

,

а при з’єднанні “трикутником”

,

звідки .

Приклад 1. До трифазної мережі із лінійною напругою U_л = 220 В підключене симетричне навантаження, з’єднане за схемою «трикутник». Активний опір фази R_ф = 4 Ом, реактивний індуктивний – Х_ф = 3 Ом. Визначити фазні і лінійні струми і напруги в таких режимах:

в симетричному трифазному;

2) при обриві однієї фази;

3) при обриві лінійного проводу.

Побудувати для всіх режимів векторні діаграми струмів і напруг.

Р озрахунок.

1) Симетричний режим (див. рис.).

Визначаємо комплексні вирази для фазних опорів і напруг:

Z_ф := 4 + 3·j

Знаходимо комплексні вирази для фазних струмів:

Знаходимо комплексні вирази для лінійних струмів:

I_A := I_ab – I_ca I_A = 75.663 – 9.116 j

I_B := I_bc – I_ab I_B = –29.937 + 70.084 j

I_C := I_ca – I_bc I_C = –45.726 – 60.958 j

Векторна діаграма напруг і струмів має вид:

2 ) Обрив однієї фази (див. рис.).

При обриві фази навантаження bc струм . Струми і залишаються без змін, тому колишнє значення має і струм . Струми і змінюються: .

Векторна діаграма струмів матиме вид:

3) Обрив лінійного проводу (див. рис.).

П ри обриві лінійного проводу А–а опори у вітках са і ab виявляються з’єднані послідовно. Отже, на кожний з цих опорів припадає половина лінійної напруги U_BC, оскільки опори у вітках са і ab однакові (Z_ф). Визначаємо комплексні вирази для лінійних напруг, що прикладені до опорів віток у випадку обриву лінійного проводу:

Приймаємо , тоді: за другим законом Кірхгова для контура abc ,

звідки .

Знаходимо комплексні вирази для фазних струмів:

Знаходимо комплексні вирази для лінійних струмів:

Векторні діаграми напруг і струмів матимуть вид:

Приклад 2. До трифазної лінії з лінійною напругою U_л = 380 В підключене несиметричне навантаження, з’єднане за схемою «зірка» з нейтральним проводом. Активні і реактивні опори фаз навантаження R_а = 10 Ом, Х_а = 0; R_b = 3 Ом, Х_b = 4 Ом; R_с = 9 Ом, Х_с = –12 Ом.

Опір нейтрального проводу нехтовно малий. Визначити фазні і лінійні струми і напруги в таких режимах:

1) трифазному;

2) при обриві лінійного проводу;

3 ) при короткому замиканні фази навантаження і обриві лінійного проводу.

Побудувати для всіх режимів векторні діаграми струмів і напруг.

Розрахунок.

1) Несиметричний трифазний режим (див. рис.).

Визначаємо комплексні зображення фазних напруг:

Знаходимо зображення фазних струмів:

Вираховуємо зображення струму в нульовому проводі:

Знаходимо зображення лінійних напруг:

Векторна діаграма струмів і напруг матиме вигляд:

2) Обрив лінійного проводу (див. рис.).

При обриві лінійного проводу А–а струм І_А у фазі А відсутній, тобто струм І_а  = 0; струми І_b і І_c мають такі ж напрямки, як і у трифазному режимі.

Струм у нульовому проводі:

Фазна напруга U_a відсутня (U_a = 0); напруги U_b і U_c направлені як і трифазному режимі.

Знаходимо лінійні напруги на навантаженнях при обриві лінійного проводу А–а:

Векторна діаграма струмів і напруг матиме вид:

3 ) Коротке замикання фази навантаження і обрив нейтрального проводу (див. рис.).

Запишемо вирази для фазних напру мережі:

Знаходимо напругу U₀:

Визначаємо фазні напруги на навантаженнях при заданому режимі:

звідки

звідки

Знаходимо фазні струми:

Векторна діаграма струмів і напруг: