2.5. Метод контурних струмів.

При розрахунку складних кіл, що складаються з невеликої кількості контурів, переважним є метод контурних струмів, який дозволяє скоротити загальну кількість рівнянь в системі.

С утність методу розглянемо на схемі кола з вузлами А, В, С, D.

Ця схема включає три контури АВСА(І), ADBA(ІІ), CBDC(ІІІ). Кожному контуру умовно приписують довільно направлений контурний струм, однаковий для всіх ділянок цього контуру І_І, І_ІІ, І_ІІІ. У вітках, які є спільними для двох суміжних контурів, фактичний струм дорівнює алгебраїчній сумі двох контурних струмів.

Тут:

• у вітці АС протікає струм І₁ = І_І;

• у вітці АВ протікає струм І₂ = І_ІІ – І_І, оскільки контурний струм І_ІІ співпадає за напрямом із шуканим струмом І₂, а контурний струм І_І − протилежний напряму струму І₂;

• у вітці АD протікає струм І₃ = І_ІI;

• у вітці DB – І₄ = І_ІІ – І_ІІІ

• у вітці ВС – струм І₅ = І_І – І_ІІІ;

• у вітці CD – І₆ = І_ІІІ,

тобто всі шість шуканих струмів виражені через три контурних струми І_І, І_ІІ, І_ІІІ.

Застосовуючи до кожного з контурів другий закон Кірхгофа, отримаємо систему з кількістю рівнянь, рівною кількості невідомих контурних струмів:

Отриману систему рівнянь доцільно переписати так, щоб шукані струми розташувались у відповідних стовпчиках, тобто привести систему до канонічної форми:

Розв’язавши систему і визначивши контурні струми І_І, І_ІІ, І_ІІІ, неважко знайти струми у вітках схеми: I₁ = I_I, I₂ = I_II – I_I, I₃ = I_II, I₄ = I_II – I_III, I₅ = I_I – I_III, I₆ = I_III.

Зауважимо, що при безпосередньому використанні законів Кірхгофа для розрахунку цієї схеми необхідно було б розв’язати систему з шести рівнянь.

Приклад. Робочий листок MathCAD визначення струмів при конкретних значеннях вихідних даних для наведеної схеми має вид:

ORIGIN := 1

Вихідні дані:

R₁ := 10 R₂ := 20 R₃ := 50 R₄ := 8 R₅ := 40 R₆ := 25 R₇ := 35 R₈ := 40

E₁ := 12 E₂ = 24 E₃ = 12 E₄ =15

Матриця коефіцієнтів розрахункової системи рівнянь:

Матриця правих частин:

Розв’язання системи рівнянь АІ=В:

Фактичні струми ¹:

I₁ := I₁ I₂ := I₂ – I_I I₃ := I₂ I₄ := I₂ – I₃ I₅ := I₁ – I₃ I₆ := I₃

I₁ = –0.437 I₂ = 0.381 I₃ = –0.056 I₄ = –0.098 I₅ = –0.48 I₆ = 0.043

При складанні балансу потужностей якщо дійсний напрямок ЕРС і струму у вітці співпадають, то джерело ЕРС працює в режимі генератора і віддає потужність у коло. Якщо напрямки ЕРС і струму протилежні, то джерело ЕРС працює в режимі приймача електроенергії і споживає потужність.

Перевірка:

Потужність, що постачається в коло:

|E₁· I₅| + |E₂ · I₂| + |E₃ · I₄| = 16.086

Потужність, що споживається в колі:

I₁²·(R₁ + R₂) + I₂²·R₃ + I₃²·(R₅ + R₆) + I₄²·R₇ + I₅2·R₄ + I₆²·R₈ + E₄·I₆ = 16.086

Як видно, потужність, що віддається в коло джерелами, збігається з потужністю, що споживається елементами кола.

2.5. Метод вузлових напруг.

Коли електричне коло складається з великої кількості контурів при невеликій кількості вузлів, його аналіз доцільно здійснювати методом вузлових напруг (інша назва – метод вузлових потенціалів).

Якщо кількість вузлів в схемі n, то кількість рівнянь, необхідних для розрахунку такого кола дорівнює (п – 1). Невідомими величинами в цих рівняннях є так звані вузлові напруги. У відповідності з цим методом потенціал в одному з вузлів схеми приймають рівним нулю. В інших вузлах схеми встановлюються потенціали, які відносно вузла з нульовим потенціалом будуть утворювати відповідно вузлові напруги U₁, U₂, ..., U_n–1.

Струм в кожній вітці схеми визначається напругами, прикладеними до вузлів вітки (вузловими напругами), ЕРС, якщо вітка їх містить і опором вітки.

Сутність методу полягає у наступному. Використовуючи вирази для струмів через вузлові напруги, ЕРС та опри, складають рівняння за першим законом Кірхгофа для кожного вузла схеми за виключенням вузла з нульовою напругою. Сукупність таких рівнянь утворює систему рівнянь відносно невідомих вузлових напруг.

При складанні рівняння для будь-якого і -го вузла можна скористатись вже готовою універсальною формулою:

за якою:

добуток вузлової напруги в і–тому вузлі на суму провідностей віток між і–тим і кожним з сусідніх з і–тим вузлами,

мінус сума добутків вузлових напруг в кожному сусідньому з і–тим вузлі на провідність вітки між цим вузлом і і–тим,

дорівнює сумі добутків ЕРС у вітці між і–тим і кожним сусіднім з і–тим вузлі (якщо вона є у цій вітці) на провідність цієї вітки.

Складові Е_ij беруться із знаком “+”, якщо ЕРС направлена до і–го вузла і із знаком “–”, якщо вона направлена від і–го вузла.

Розв’язавши систему відносно U_і, можна визначити струми у вітках.

Приклад. Розглянемо розрахунок електричного кола за цим методом на прикладі схеми, наведеній на рисунку.

а) б)

Значення параметрів:

Вихідні дані: E₂ = 20 В; E₃ = 7,6 В; Е_К = 4,4 В; R₁ = 12 Ом; R₂ = 35 Ом; R₃ = 22 Ом; R₄ = 6 Ом; R₅ = 10 Ом; R₆ = 15 Ом.

1. Довільно пронумеруємо вузли схеми, починаючи з нуля. Потенціал у нульовому вузлі покладаємо рівним нулю і проставляємо позитивні напрямки вузлових напруг U_I, U_II, U_III (див. рисунок «а»).

2. Для трьох вузлів, окрім нульового − (n−1), використовуючи наведену формулу, складаємо загальну систему рівнянь одразу в канонічній формі:

• для вузла І:

• для вузла ІІ:

• для вузла ІІІ:

Підставляючи числові значення опорів і ЕРС отримуємо закінчений вид системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

0 ,278788U_I – 0,04545U_ІІ – 0,06667U_ІІІ = 0,54545455

–0,04545U_I + 0,228788U_ІІ – 0,08333U_ІІІ = –0,54545455

–0,06667U_I – 0,08333U_ІІ + 0,178571U_ІІІ = –0,57142857

Відзначимо, що матриця коефіцієнтів отриманої системи, як і в попередньому випадку, симетрична.

Робочий листок MathCAD складання і розвʼязання системи рівнянь для зазначеної задачі має вид:

Розв’язання системи рівнянь AU = B

Розв’язуючи дану систему відносно U_I, U_II, U_III, одержуємо:

U_I = 0,020988 В; U_II = –4,26813 В; U_III = –5,18396 В.

3. Використовуючи другий закон Кірхгофа, визначаємо напругу на елементах схеми. Для цього на схемі крім позитивних напрямів вузлових напруг позначимо ще й напруги на всіх резисторах (див рисунок «б»). Тоді:

U_III – U₁ – U_IІ = 0  U₁ = U_IІІ – U_II = –5,18396 В –(–4,26813 В) = –0,91583 В;

U_III + U₂ + E₂ = 0  U₂ = –U_III – E₂ = –(–5,18396 В) – 20 В = –14,81604 В;

U_I + U₃ – E_к – E₃ – U_II = 0  U₃ = E_к + E₃ + U_II – U_I = 12 В + (–4,26813 В) – 0,020988 В = 7,710879 В.

U₄ = –U_I = –0,020988 В;

U₅ = U_II = –4,26813 В;

U_III + U₆ – U_I = 0  U₆ = U_I – U_III = 0,020988 В –(–5,18396 В) = 5,204948 В;

За законом Ома знаходимо струми у вітках:

I₁ = U₁/R₁ = –0,91583/12 = –0,076319 A;

I₂ = U₂/R₂ = –14,81604/35 = –0,42332 A;

I₃ = U₃/R₃ = 7,710879/22 = 0,35049 A;

I₄ = U₄/R₄ = –0,020988/6 = –0,0035 A;

I₅ = U₅/R₅ = –4,26813/10 = –0,42681 A;

I₆ = U₆/R₆ = 5,204948/15 = 0,346997 A.

4. Виконується перевірка балансом потужностей.

Робочий листок MathCAD¹ визначення струмів і перевірка балансу потужностей для зазначеної задачі має вид: