Теоретичний матеріал до розрахунково-графічної роботи № 1.

1. Розрахунок простих кіл електричного струму.

Задачею розрахунку електричних кіл (аналізу¹ електричних кіл) є визначення струмів і потужностей в різних елементах кола (джерелах, приймачах, проводах), а також напруги на окремих елементах кола.

Вихідними даними для розрахунку звичайно є електрична схема кола, задані ЕРС кола і характеристики (параметри) елементів кола, тобто або їх опори, або номінальні напруги і потужності.

Якщо діюча в колі ЕРС і параметри елементів незмінні в часі, то така задача має однозначне рішення.

Якщо електричне коло уявляє собою поєднання послідовно і паралельно включених елементів (змішана схема з’єднань) і при цьому має одне джерело живлення (одну ЕРС), то вона розраховується в такому порядку (метод трансфігурації):

1. Шляхом послідовного спрощення знаходять загальний опір кола.

2. За законом Ома знаходять загальний струм.

3. Знаходять розподіл струмів і напруг в схемі.

Для перевірки розрахунку слід використати те, що в електричному колі завжди встановлюється струм І такої величини, при якій загальна потужність, що віддається джерелом дорівнює сумі потужностей, що споживаються кожним елементом кола (баланс потужностей).

При заміні послідовно з’єднаних n елементів одним еквівалентним слід враховувати, що:

• по всім ділянкам послідовного кола проходить один і той же струм І;

• падіння напруги на послідовно з’єднаних елементах пропорційні величинам опорів цих елементів: U_i = IR_i;

• при послідовному з’єднані елементів сума напруг на окремих елементах дорівнює напрузі, прикладеної до такого з’єднання: U₁+ U₂ +...+ U_n = U;

• еквівалентний опір дорівнює сумі опорів окремих елементів, що входять до з’єднання: R_екв = R₁ + R₂ +…+ R_n;

• потужність, що споживається при послідовному з’єднанні елементів, Р дорівнює сумі потужностей, що споживаються його окремими елементами:

P = P₁ + P₂ + …P_n = I ²R₁ + I ²R₂ + … + I ²R_n = I₂(R₁ + R₂ + …+ R_n) або

P = P₁ + P₂ + …P_n = U₁²/R₁ + U₂²/R₂ + ... + U_n²/R_n.

При заміні паралельно з’єднаних n елементів одним еквівалентним слід враховувати, що:

• всі елементи знаходяться під однаковою напругою U;

• струми в цих елементах і також потужності розподіляються завжди пропорційно провідностям або струми і потужності в паралельних вітках зворотно пропорційні опорам віток;

• струм І в нерозгалуженій частині кола дорівнює сумі струмів, що протікають по його окремим елементам І = І₁+ І₂ + ... + І_n;

• еквівалентна провідність розгалуженого кола дорівнює сумі провідностей окремих його віток g_екв = g₁+ g₂ + …+ g_n або 1/R_екв= 1/R₁ + 1/R₂ + …+ 1/R_n. 3 останнього виразу можна визначити еквівалентний опір паралельного з’єднання n елементів¹;

• потужність, що споживається розгалуженим колом Р, дорівнює сумі потужностей, споживаних окремими елементами або одним еквівалентним елементом: P = P₁ + P₂ + …P_n = U ²/R₁ + U ²/R₂ + ... + U ²/R_n = U ²(1/R₁ + 1/R₂ + ... + 1/R_n) = U ²/R_екв або P = P₁ + P₂ + …P_n = I₁²R₁ + I₂²R₂ + … + I_n²R_n.

При розрахунку електричних кіл, які не вдається звести до одного результуючого опору шляхом заміни послідовно і паралельно з’єднаних опорів їх еквівалентними величинами доводиться вдаватись до більш складних перетворень.

З окрема, якщо в колі зустрічається замкнутий контур з трьох опорів R_AB, R_BC, R_CA, що утворюють сторони трикутника, то ці опори заміняють трьома опорами R_А, R_B, R_C, що з’єднані в одній вузловій точці О і утворюють трипроменеву зірку (Δ → Y):

При зворотному переході від зірки опорів до еквівалентного трикутника опорів (Y → Δ) опори R_AB, R_BC, R_CA визначаються через опори R_А, R_B, R_C:

Наведені формули, що визначають опори в еквівалентних з’єднаннях, отримані за умови, що при таких перетвореннях опори між вузлами А і В, В і С та С і А повинні бути однаковими в обох видах з’єднання.

Приклад 1¹. Розрахунок простого розгалуженого кола постійного струму. Розглянемо наведену схему.

В ихідні дані:

U = 240 В; R₁ = 10 Ом; R₂ = 20 Ом; R₃ = 60 Ом; R₄ = 9 Ом; R₅ = 30 Ом; R₆ = 4 Ом; R₇ = 2 Ом.

Знайти розподіл струмів в схемі.

Розрахунок:

Визначаємо еквівалентний опір між точками АВ:

Складаємо послідовно з’єднані опори R_AB та R₄ і отримаємо R' :

R' = R_AB + R₄ = 6 + 9 = 15 Ом.

Опір R' в свою чергу виявляється з’єднаним паралельно з опором R₅. Їх загальний опір:

Загальний опір кола:

R = R₆ + R_CD + R₇ = 4 + 10 + 2 = 16 Ом.

Загальний струм:

I = U / R = 240 / 16 = 15 А.

Напруга між точками С і D:

U_CD = I·R_CD = 15·10 = 150 В.

Струми в опорах R' і R₅:

I₄ = U_CD / R' = 150 / 15 = 10 A;

I₅ = U_CD / R₅ = 150 / 30 = 10 A.

Напруга між точками А і В:

U_AB = I₄·R_AB = 10·6 = 60 В.

Струми в опорах R₁, R₂, R₃:

I₁ = U_AB / R₁ = 60 / 10 = 6 A;

I₂ = U_AB / R₂ = 60 / 20 = 3 A;

I₃ = U_AB / R₃ = 60 / 60 = 1 A.

Перевірку результатів розрахунку здійснимо через баланс потужностей:

UI = Σ_i=1..7 I_i²R.

UI = 240·15 = 3600 Ватт;

Σ_i=1..7 I_i²R = I₁² R₁ + I₂² R₂ + I₃² R₃ + I₄² R₄ + I₅² R₅ + I² R₆ + I² R₇ = 6²·10 + 3²·20 + 1²·60 + 10²·9 + 5²·30 + 15²·4 + 15²·2 = 3600 Ватт.

Отже, яка потужність постачається в коло, така ж потужність споживається елементами кола.

П риклад 2. Визначити струм в перемичці ВС наведеної схеми. Схема відома під назвою міст Уітстона.

Вихідні дані:

Е = 32 В; R₀ = 1 Ом; R₁ = 10 Ом; R₂ = 15 Oм; R₃ = 25 Oм; R₄ = 12,5 Ом; R₅ = 25 Oм.

Розрахунок: Замінимо трикутник опорів R₁, R₂, R₃ еквівалентною зіркою з променями:

Загальний опір кола:

Струм в нерозгалуженій частині кола:

Струми в паралельних вітках (R_B + R₅) – I_R5 і (R_C + R₄) – I_R4:

Ця формула походить з пропорції (струми в паралельних вітках розподіляються зворотно пропорційно опорам віток)¹.

Отже , а I_R4 = I – I_R5 = 2 – 0,8 = 1,2 A.

Із рівняння, складеного за другим законом Кірхгофа для контуру BDCB – I_BCR₃ + I_R5R₅ – I_R4R₄ = 0, маємо: