1.3. Параболические дифференциальные уравнения в частных производных

Простейшим (или модельным) параболическим ДУЧП является уравнение одномерной теплопроводности или уравнение диффузии

(1.30)

₁ = 0 ₂ = 4 с ₃ = 8 с ₄ = 12 с

u (x, )

а

b

х

Рис. 1.6. Волны в нелинейной среде

Здесь  означает температуру Т или концентрацию компонента с, а коэффициент а является соответственно либо коэффициентом температуропроводности, либо коэффициентом диффузии. В физическое содержание этих величин мы сейчас вдаваться не будем; отметим лишь, что они имеют размерность м²/с.

Рассмотрим бесконечную стенку или пластину единичной толщины (0  х  1). Пусть (х, ) означает температуру в точке х в момент времени  и пусть в начальный момент времени ( = 0) распределение температур описывается функцией (начальным условием) (x, 0) = sin(x). Если теперь задать граничные условия в виде (0, ) = (1, ) = 0, то получим задачу охлаждения стенки от заданного начального состояния. При сформулированных краевых условиях уравнение (1.30) допускает точное решение

(x, ) = sin(x)exp( ²a). (1.31)

Легко видеть, что в данном случае процесс теплопроводности (или диффузии) имеет весьма эффективный диссипативный механизм, так как при    ехр()  0.

В общем случае параболическую составляющую имеют все нестационарные уравнения переноса. Уравнения движения газа или жидкости являются параболически-гиперболическими вблизи обтекаемой стенки и гиперболическими на удалении от неё. В тех случаях, когда переносимый параметр не является скоростью потока u (или количеством движения), параболическое ДУЧП является линейным, в противном случае оно нелинейно.

Интерпретация с помощью характеристик

Сопоставляя уравнение (1.30) и (1.2), находим: А = - а, В = С = 0, так что В² – 4АС = 0, как и должно быть для параболического уравнения. С другой стороны, с учётом того, что у = , из уравнения (1.16) получаем d/dx = 0, т.е. здесь имеется единственное семейство характеристик. Типичная вычислительная область для уравнения (1.30) может быть представлена так, как показано на рис. 1.7. Здесь g() и h() – известные функции, определяющие граничные условия I и II рода, а ₀(x) – заданное начальное условие. В противоположность ситуации, возникающей для гиперболических уравнений, при переходе через линию  = _i производные функции  всегда остаются непрерывными. Характеристики не играют здесь такой значительной роли, как это было для гиперболических уравнений.

Интерпретация на физической основе

Для параболических задач характерны такие решения, которые реализуют маршевое продвижение во времени, но создают рассеяние в пространстве. Так, например, возмущение решения, введённое в точке Р (см. рис. 1.7), может оказать влияние на любую часть исследуемой области, соответствующей условию   _i. Однако при этом величина возмущения быстро уменьшается по мере удаления от точки Р.

Появление диссипативного механизма косвенно указывает также на тот факт, что даже если начальные условия содержат разрыв, то решение во внутренней области всегда будет оставаться непрерывным. ДУЧП, определяющие решение более чем в одном пространственном направлении и являющиеся параболическими по отношению ко времени, становятся эллиптическими в стационарном состоянии (если только стационарное решение существует).

Наличие лишь одного семейства характеристик _i = const указывает ещё на одну особенность параболического ДУЧП, а именно на то обстоятельство, что всю информацию об изменении искомого параметра во времени и пространстве можно получить последовательно, отталкиваясь от начального условия и выполняя расчёты пошагово по времени. В литературе, подчёркивая эту особенность, время (как аргумент) называют маршевой координатой.